Управляемость и наблюдаемость линейных систем

Лекция 22. Управляемость и наблюдаемость линейных систем

Понятия управляемости и наблюдаемости входят в число основных в современной теории управления. Смысл понятия управляемости состоит в возможности приведения системы в любое требуемое состояние, а наблюдаемости – в возможности определения состояния системы по результатам измерения выходных сигналов.

Состояние X⁽¹⁾ является достижимым из состояния X⁽⁰⁾, если существует допустимое управление u(t) на интервале tÎ[t₀,t₁], t₁<<∞ такое, что система под его воздействием переходит из X⁽⁰⁾=X(t₀) в X⁽¹⁾=X(t₁).

Система называется сильносвязанной, или вполне достижимой, если у нее каждое состояние достижимо из любого другого.

Пример 1.

Система на рисунке     не обладает таким свойством, так как, например, из любого состояния  ее невозможно перевести в какое либо состояние из области .

Для линейных систем понятие сильносвязанности переходит в понятие полной управляемости.

Рассмотрим линейную систему:

,

, где X=(x₁,x₂,…x_n) – вектор переменных состояния, U=(u₁,u₂,…u_r) – вектор входных сигналов (вектор управления), Y=(y₁,y₂,…y_l) – вектор выходных сигналов, A – квадратная матрица размерностью , B – матрица входов размерностью , C– матрица выходов размерностью .

Система называется полностью управляемой, если для любых начального момента времени t₀³0 и конечного состояния X⁽¹⁾=X(t₁) существуют t₁³t₀ и ограниченное по величине управление U(t) на интервале tÎ[t₀,t₁] такое, что из заданного начального состояния X⁽⁰⁾=X(t₀) достигается X⁽¹⁾.

Если система стационарна, можно принять t₀=0, совместить X⁽⁰⁾ с началом координат фазового пространства и говорить о существовании конечного управления, переводящего систему в любую заданную точку фазового пространства за конечный интервал времени.

Как следует из определения, свойство управляемости не связано с выходными сигналами и, следовательно, не зависит от матрицы C.

Критерий управляемости: матрица управляемости U=[B|AB|…|A^n-1B] не вырождена, то есть detU¹0.

Система называется нормальной (нормализуемой), если управляемость имеет место по каждой компоненте вектора управления.

Для систем со скалярным управлением свойства управляемости и нормализуемости совпадают.

Далее при рассмотрении примеров ограничимся такими системами.

Пример 1. Модель системы имеет вид:

,

,

y=x₁.

Составим матрицы A и B:

,

и найдем матрицу управляемости:

,

.

Получим detU=-1. Следовательно, данная система полностью управляема.

Это нетрудно видеть и по ее структурно-динамической схеме, показанной на рисунке 107.

Пример 2. Модель системы задана в векторно-матричной форме:

, .

Найдем матрицу управляемости:

,

,

.

Получим detU=0. Следовательно, данная система не является полностью управляемой.

Действительно, по ее структурно-динамической схеме, показанной на рисунке 108, видно, что управляющий сигнал не влияет на фазовую переменную x₃.

Пример 3. Модель системы задана структурно-динамической схемой (рисунок 109).

Составим дифференциальные уравнения системы:

,

,

y=x₁.

Составим матрицы A и B:

,

и найдем матрицу управляемости:

,

.

Получим detU=0. Система не является полностью управляемой. Отметим, что в данном случае по структурно-динамической схеме это не очевидно. Причина отсутствия полной управляемости для данной системы состоит в том, что ее передаточная функция содержит сократимые элементы (нуль и полюс, совпадающие по величине):

Такую передаточную функцию называют вырожденной.

Система называется полностью наблюдаемой, если для любого начального момента времени t₀³0 существует такое t₁³t₀, что вектору выходных сигналов Y(t) на интервале tÎ[t₀,t₁], полученному для известного на том же интервале вектора управления U(t), соответствует единственное значение X⁽⁰⁾=X(t₀).

Если система линейна и стационарна, можно принять t₀=0 и U(t)=0 и говорить о единственности решения задачи нахождения X⁽⁰⁾=X(0) по известному на интервале времени [0,t₁] вектору Y(t).

Как следует из вышесказанного, свойство наблюдаемости для линейных систем не связано с управлением U и, следовательно, не зависит от вектора B.

Критерий наблюдаемости: матрица наблюдаемости

не вырождена, то есть detQ¹0.

Вернемся к примеру 1. Составим матрицу наблюдаемости:

,

.

Получим detQ=1. Система полностью наблюдаема.

Пример 4. Модель системы имеет вид:

,

,

,

y=x₁.

Составим матрицы A и C:

, .

Найдем матрицу наблюдаемости:

,

,

.

Получим detQ=0. Следовательно, данная система не является полностью наблюдаемой.

Тот же вывод нетрудно сделать и по структурно-динамической схеме системы (рисунок 110), где видно, что фазовая переменная x₃ не влияет на выходной сигнал. Следовательно, выходной сигнал не содержит информации об этой фазовой переменной.

Пример 5. Модель системы имеет вид:

,

,

y=x₂.

Составим матрицы A и C:

,

и матрицу наблюдаемости:

,

.

Получим detQ=0. Система не является полностью наблюдаемой. Это достаточно хорошо видно и по структурно-динамической схеме (рисунок 111).