Анализ устойчивости и качества импульсных систем

Лекция 20. Анализ устойчивости и качества импульсных систем

Если представить дискретную передаточную функцию замкнутой импульсной системы в форме

,                             (20.1)

можно перейти к разностному уравнению, связывающему входной и выходной сигналы системы. При этом для дискретных передаточных функций сохраняется свойство: знаменатель, определяющий вид левой части разностного уравнения, для всех передаточных функций конкретной системы одинаков. Его называют характеристическим полиномом замкнутой системы:

  или  .

Асимптотическая устойчивость системы определяется корнями характеристического полинома. В соответствии с (18.9) для устойчивости дискретной или импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни z_i, i=1,2,…,m характеристического полинома удовлетворяли условию: . Область устойчивости на комплексной плоскости будет иметь вид круга единичного радиуса (рисунок 103). Таким образом, проверка устойчивости может быть выполнена, если будет выполнена достаточно трудоемкая процедура вычисления корней уравнения D(z)=0.

Известно, что для непрерывных систем существует удобный математический аппарат анализа устойчивости и качества замкнутой системы, не требующий вычисления корней характеристического полинома. Возможность использования этого математического аппарата для импульсных систем обеспечивается на основе дополнительного w-преобразования дискретной передаточной функции. Преобразование выполняется на основе подстановки

,                                               (20.2)

где w -новая комплексная переменная.

После подстановки (20.2) в (20.1) будет получена новая дискретная передаточная функция замкнутой системы

                              (20.3)

с характеристическим полиномом

.                              (20.4)

Определим требование к корням полинома (20.4) для обеспечения устойчивости системы. Оно может быть получено на основе неравенства

  или  .

С учетом записи w=a+jb получим . Очевидно, это неравенство может быть выполнено только при a<0.

Таким образом, область устойчивости для корней характеристического полинома D(w) импульсной системы совпадает с областью устойчивости для корней характеристического полинома D(p) непрерывной системы (рисунок 104). Поэтому после перехода к передаточной функции (20.3) на импульсную систему может быть распространен весь математический аппарат исследования устойчивости непрерывных систем.

Необходимое условие устойчивости: все коэффициенты характеристического полинома должны быть одного знака. Для систем с характеристическим полиномом первого или второго порядка это условие является необходимым и достаточным.

Для систем с характеристическим полиномом более высокого порядка при выполнении необходимого условия для обеспечения устойчивости требуется выполнение какого-либо достаточного условия (критерия устойчивости).

Критерий Гурвица и другие алгебраические критерии могут быть использованы для полинома D(w) непосредственно.

Для использования частотных критериев устойчивости и методов анализа качества в случае импульсных систем необходимы дополнительные преобразования.

После естественной замены в передаточных функциях s=jw, где w - частота входного гармонического сигнала, получим:

,  .

Такие передаточные функции неудобны для дальнейших аналитических преобразований. Поэтому для импульсных систем вместо реальной частоты используется псевдочастота, переход к которой производится на основе w-преобразования.

Следствием (20.2) является соотношение:

.

Выполнив подстановку , получим:

, где величина называется относительной псевдочастотой. Удобнее использовать абсолютную псевдочастоту

,                                 (20.5)

так как на малых частотах    и , то есть совпадает с реальной частотой гармонического сигнала.

Частотный критерий устойчивости Найквиста и связанные с ним методы анализа качества и синтеза систем применяются для импульсных систем с использованием псевдочастотных характеристик, получаемых из передаточной функции разомкнутой системы W(z) путем подстановок (20.2) и вытекающей из (20.5)

.                                           (20.6)

При этом нужно иметь в виду, что изменению абсолютной псевдочастоты в пределах    согласно (20.5)  соответствует изменение реальной частоты в пределах  . При дальнейшем увеличении w будет проявляться периодичность зависимости (20.5). Поэтому результаты, получаемые на основе псевдочастотных характеристик, следует считать достаточно точными для , или , а анализ более высоких псевдочастот позволяет делать только качественные выводы.

Точность системы в установившемся режиме может быть оценена на основе теоремы о конечном значении.

Установившаяся ошибка от задающего воздействия:

.

Установившаяся ошибка от возмущающего воздействия:

, где Y(z) находится в соответствии с (19.9).