Синтез оптимального управления на основе вариационного исчисления

Лекция 24. Синтез оптимального управления на основе вариационного исчисления

Среди вариационных задач, как и среди любого другого вида задач поиска экстремума выделяются задачи на безусловный и условный экстремумы. Рассмотрим сначала основные виды задач на безусловный экстремум.

Простейшая задача вариационного исчисления имеет следующую постановку: требуется найти функцию x(t), определенную на интервале  при заданных значениях x(t₀)=x₀, x(t₁)=x₁, доставляющую экстремум функционалу вида:

.                                    (24.1)

Иногда говорят, что требуется найти кривую x(t), концы которой закреплены в точках x(t₀)=x₀  и x(t₁)=x₁ (рисунок 112).

Первое необходимое условие достижения экстремума в простейшей задаче принимает вид уравнения Эйлера:

.                                       (24.2)

Уравнение Эйлера сводится к дифференциальному уравнению второго порядка относительно x(t). Его решение называют экстремалью. Далее с учетом граничных условий x(t₀)=x₀, x(t₁)=x₁  находят допустимую экстремаль (одну или несколько).

Второе необходимое условие достижения экстремума принимает вид условия Лежандра:  для минимума или  для максимума вдоль всей допустимой экстремали. Условия Лежандра в форме строгих неравенств называются усиленными. Усиленное условие Лежандра вместе с (24.2) образует достаточное условие минимума или максимума функционала (24.1).

Пример 1. Требуется обеспечить экстремум функционала  при граничных условиях x(0)=0, x(1)=1 (рисунок 113).

Найдем частные производные и составим уравнение Эйлера:

, ;

, , .

Уравнение экстремали получаем двойным интегрированием: , x=c₁t+c₂.

С учетом граничных условий находим допустимую экстремаль: x(0)=c₂=0, x(1)=c₁=1, .

Проверим выполнение условия Лежандра: .

Таким образом, на кривой  (кривая bна рисунке 113) обеспечивается минимум величиной .

В векторном варианте простейшей задачи при X=(x₁,x₂,…,x_n) и функционале вида

.                                    (24.3)

задаются граничные условия x_i(t₀)=x_i0, x_i(t₁)=x_i1, i=1,2,...,n.

Первое необходимое условие достижения экстремума здесь принимает вид системы уравнений Эйлера-Лагранжа:

,  i=1,2,....,n.                              (24.4)

Второе условие (условие Лежандра) предусматривает анализ матрицы вторых частных производных

.

Условие Лежандра (необходимое условие): вдоль всей допустимой экстремали матрица  должна быть положительно полуопределенной для минимума функционала и отрицательно полуопределенной для максимума.

Усиленное условие Лежандра (достаточное условие): вдоль всей допустимой экстремали матрица  должна быть положительно определенной для минимума функционала и отрицательно определенной для максимума.

В общем случае граничные условия могут быть заданы не полностью. В этом случае первое необходимое условие достижения экстремума (24.2) или (24.4) дополняется условиями трансверсальности. Рассмотрим возможные варианты.

1. Задача с подвижными концами: значения всех или некоторых составляющих векторной функции X при t=t₀ или t=t₁ не заданы (концы частично не закреплены). Пример для одномерного случая, когда левый конец закреплен, правый подвижен, представлен на рисунке 114. В таких задачах первое необходимое условие достижения экстремума вместо каждого недостающего граничного условия дополняется условием трансверсальности вида:

  или  . (24.5)

2. Задача со свободными концами: не задана также граница временного интервала t₀ или t₁ (рисунок 115 – для одномерного случая правый конец свободен). Вместо неопределенной границы первое необходимое условие достижения экстремума дополняется условием трансверсальности соответственно:

или .  (24.6)

3. Задача со скользящими концами: вместо значений t₀ и x_0i заданы уравнения x_i(t₀)=j_i(t₀), i=1,2,…,n и аналогично для правого конца (пример для одномерного случая на рисунке 116). Вместо условий (24.5), (24.6) вводится условие трансверсальности:

или

. (24.7)

Условия трансверсальности используются вместо недостающих граничных условий для нахождения допустимых экстремалей. Отметим еще раз, что количество условий трансверсальности всегда точно совпадает с количеством недостающих в задаче граничных условий. При этом в рассмотренном выше случае 3 уравнения x_i(t₀)=j_i(t₀) также рассматриваются как граничные условия и используются для нахождения коэффициентов экстремали вместе с прочими граничными условиями и условиями вида (24.7).