Кластерный анализ. Распределение n-объектов наблюдения в двухмерном пространстве

Кластерный анализ.

Кластерный анализ - это метод, позволяющий классифицировать многомерные наблюдения, при котором используется политетический подход образования групп, то есть при отнесении единицы наблюдения в ту или иную группу одновременно участвуют все группировочные признаки. Предпочтение данному методу многомерной кластеризации обусловлено построением научно обоснованных групп (кластеров), выявлением внутренней связи между единицами наблюдений совокупности, а также как методу, не требующему априорной информации о видах законов распределения исследуемых рядов, без обучающей выборки. Наиболее распространенном алгоритмом кластерного анализа является иерархические процедуры, которые бывают двух типов:

1.  амолиративные (скопление): принцип работы состоит в последовательном объединении групп элементов сначала самых близких, а затем все более отдаленных друг от друга;

2.  дивизимные (деление): принцип работы состоит в последовательном объединении групп элементов сначала самых далеких, а затем все более близких друг от друга.

Алгоритмы кластерного анализа разрабатывается с учетом двух основополагающих моментов:

§  во-первых, возможности представить любую совокупность объектов наблюдения в признаковом геометрическом пространстве, как плотные скопления точек, представляющих однородность, или наоборот «не похожесть» анализируемых объектов;

Х2

Х1

Рис.1 Распределение n-объектов наблюдения в двухмерном пространстве.

§  во-вторых, представления, что в геометрическом пространстве два различных объекта находятся на некотором удалении друг от друга и, расстояние между ними тем больше, чем более они не похожи, и тем меньше, чем больше их сходство.

                              Х2

х22                                      n2

d1,2=

х12                         n1

0                      х11    х21                               Х1

Рис.2 Расстояние (d1,2) между объектами наблюдения (n1 и n2) в двумерном признаковом пространстве.

Кластерный анализ независимо от выбора конкретного алгоритма осуществляется при последовательном выполнении следующих шагов:

§  формирование матрицы исходных данных Х, размером n*m, где n-число объектов наблюдения, m-число признаков, по которым производится группировка;

§  переход от матрицы исходных данных к матрице нормированных данных (приведение разнородных по своей физической природе признаков к одному основанию);

§  определение расстояний между всеми парами объектов и построение исходной матрицы расстояний;

§  производится выбор конкретной процедуры кластерного анализа и по данным матрицы расстояний последовательно выделяются группы однородных объектов;

§  при помощи специальных показателей оцениваются результаты кластерного анализа, в случае необходимости, производится перегруппировка данных;

§  на последнем шаге результаты кластерного анализа обобщаются при помощи графиков и таблиц и получают свою экономическую интерпретацию.

Пример: Известны данные о потреблении на душу населения основных продуктов питания (кг) в пяти странах: России, США, Великобритании, Франции, Японии.

Необходимо выделить однородные по уровню потребления продуктов питания группы стран и найти место России по уровню потребления.

Отметим, что пять объектов наблюдения (страны) анализируются по четырем признакам (видам продуктов потребления), исходная матрица данных: