Определение дифференциального сечения рассеяния с заданной энергией атома отдачи и полного сечения рассеяния

Лекция 6

6.1. Определение дифференциального сечения рассеяния с заданной энергией

атома отдачи и полного сечения рассеяния

Рассмотрим атом M₂, бомбардируемый ионами M₁. Те ионы, которые проходят через площадь 2πpdp, заключенную между окружностями радиусом p и p+dp, рассеиваются в интервале углов φ, φ + dφ. Величину

dσ = 2πpdp,                                                                                                                                              (6.1)

равную вышеуказанной площади, называют дифференциальным сечением взаимодействия (в данном случае рассеяния). Уравнение (5.13) (см. лекцию 5) при известном потенциале V(r) позволяет выразить p² через φ. Дифференцируя получаем 2pdp, т.е. фактически связь между dσ и dφ откуда с использованием уравнения (3.19) (E₂=ΛE₁sin²φ/2, см. лекцию 3) определяем сечение dσ столкновений с энергией атома отдачи в интервале dЕ₂.

Полное сечение рассеяния для Е₂, принимающего значения в интервале от  до , может быть получено интегрированием

.                                                                                                                                              (6.2)

Вероятность приобретения атомом отдачи энергии в интервале Е₂, Е₂ + dЕ₂ есть, очевидно, отношение дифференциального сечения к полному:

                                                                                                                                              (6.3)

где  – плотность вероятности.

Выразить интеграл (5.13) для угла рассеяния φ (как функции p²) через аналитические функции возможно лишь для простых потенциалов (таких. как кулоновский и 1/r²). В других случаях должны применяться численные методы решения уравнения (5.13). В связи с этим полезно рассмотреть два приближенных расчета.

6.2. Импульсное приближение

Когда φ достаточно мало, а это значит, частицы проходят друг от друга относительно далеко, т.е., прицельный параметр Р относительно велик. Скорость частиц при этом существенно не меняется. Траектории частиц близки к прямым линиям (почти прямые линии).

Импульсное приближение в c-системе, применимо при φ<<1

Рис. 6.1.

.                                                                                                                                              (6.4)

Сила действующая между частицами равна градиенту потенциала:

F(r) = – dV(r)/dr.                                                                                                                                              (6.5)

Изменение импульса каждой из частиц в интервалах dx₁ и dx₂, проходимых за время dx₁/V₁ = dx₂/V₂, определяется соотношением:

                                                                                                                                              (6.6)

(приращение импульса и градиент потенциала антипараллельно направлены и противоположны друг другу для частиц М₁ и М₂).

При интегрировании компонент импульса по х₁ от – ∞ до ∞ в силу симметрии относительно центра масс (G) компоненты, параллельные траекториям, должны исчезнуть (т.к. проекция силы меняет знак).

Импульс, передаваемый перпендикулярно траекториям, определяется соотношением

dP_┴ = dP sinφ.                                                                                                                                              (6.7)

Поскольку u₁ = V₁ + V₂ (u₁ – скорость сближения частиц, или скорость первой частицы в лабораторной системе), то, полагая dx = dx₁ + dx₂, имеем

,                                                                                                                                              (6.8)

учитывая, что

получаем

.                                                                                                                                              (6.9)

tg φ ≈ φ

Обозначим через I(p) интеграл (6.9), тогда

,                                                                                                                                             (6.10)

Значение ΔР=ΔР_^ не зависит от выбора системы координат (лабораторная или с-система) и, поскольку то