Исследование типовых динамических звеньев

Лабораторная работа № 1

Исследование типовых динамических звеньев

Цель работы

1. Изучение моделей типовых элементов в Simulink.

2. Изучение команд создания моделей типовых элементов в Matlab.

3. Изучение влияния изменения параметров передаточных функций на вид временных и частотных характеристик типовых звеньев.

Теоретическое обоснование

В системах автоматического управления используют типовые звенья:

–  усилительное;                                      –  интегрирующее;

–  дифференцирующее;                          –  реальное дифференцирующее;

–  запаздывания;                                      –  форсирующее;

–  инерционно-форсирующее;               –  апериодическое первого порядка;

–  апериодическое второго порядка;    –  колебательное.

Усилительное звено описывается уравнением

y(t) = K×u(t),                                                        (1.1)

которому соответствует передаточная функция

,                                               (1.2)

где u(t), y(t) – входной и выходной сигналы, соответственно, K – коэффициент усиления, s – оператор Лапласа.

Интегрирующее звено описывается интегральным уравнением

,                                                   (1.3)

которому соответствует передаточная функция

                                                              (1.4)

где U(s), Y(s) - изображение входного и выходного сигналов, соответственно.

Дифференцирующее звено описывается уравнением

                                                      (1.5)

которому соответствует передаточная функция

W(s) = T_Дs                                                               (1.6)

где Т_Д - постоянная времени дифференцирования.

Передаточная функция реального дифференцирующего звена имеет вид

                                          (1.7)

Звено чистого запаздывания определяет выходной сигнал как

y(t) = u(t - t),                                                           (1.8)

которому соответствует передаточная функция

W(s) = e^-st,                                                               (1.9)

где t- постоянная времени запаздывания.

Форсирующее звено описывается дифференциальным уравнением

                                        (1.10)

которому соответствует передаточная функция

W(s) = K(1 + Ts).                                                    (1.11)

Инерционно-форсирующее звено описывается уравнением

                                  (1.12)

которому соответствует передаточная функция

                                                    (1.13)

где Т₀, Т – постоянные времени.

Апериодическое звено первого порядка описывается уравнением

                                           (1.14)

которому соответствует передаточная функция

                                                         (1.15)

Апериодическое звено второго порядка описывается уравнением

                           (1.16)

которому соответствует передаточная функция

                  (1.17)

Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка

                            (1.18)

которому соответствует следующая передаточная функция

                                       (1.19)

где Т₁, Т₂ – постоянные времени.

Описание работы

На рис. 1.1 представлены модели типовых динамических звеньев, реализованные с помощью библиотеки моделей Simulink.

Рис. 1.1. Моделирование временных характеристик типовых звеньев

При подаче на вход звена ступенчатой функции в окне блока Scope, подключенного к выходу звена, появится изображение его переходной функции.

На рис. 1.2 представлены результаты моделирования переходных функций типовых звеньев. При подаче на вход типового звена d-функции в окне блока Scope появится изображение весовой функции. На рис. 1.3 представлены результаты моделирования весовых функций типовых звеньев.

а)                                      б)                                        в)                                     г)

д)                                      е)                                        ж)                                    з)

и)                                   к)

Рис. 1.2. Результаты моделирования переходных функций типовых звеньев

Пакет символьной математики (Symbolic Math Toolbox) предоставляет возможности аналитического исследования временных и частотных характеристик динамических звеньев. Программа исследования поведения апериодического звена  в зависимости от его коэффициента усиления представлена ниже.

k=3;                              %Коэффициент усиления

T=2;                              %Постоянная времени

h1=tf([k],[T,1]);                 %Передаточная функция при k=3

h2=tf([2*k],[T,1]);               %Передаточная функция при k=6

h3=tf([4*k],[T,1]);               %Передаточная функция при k=12

figure(1)                         %Задание области графиков

step(h1,h2,h3),grid               %Переходные функции

figure(2)                         %Задание области графиков

impulse(h1,h2,h3),grid            %Весовые функции

figure(3)                         %Амплитудные и фазовые

bode(h1,h2,h3),grid               %частотные характеристики

figure(4)                         %Задание области графиков

nyquist(h1,h2,h3),grid            %Амплитудно-фазовые характеристики

symss                            %Ввод символьных переменных