Определение логарифма, логарифм произведения, степени, частного. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств, страница 2

Показательнымназывают уравнение, содержащее переменную в показателе степени, т. е. уравнение вида

, где и - действительные числа ( > 0, ¹ 1, > 0), и - некоторые функции переменной . Так как (основное логарифмическое тождество), то уравнение можно привести к виду , где .

Решение показательных уравнений основано на следующем утверждении

Теорема. Показательное уравнение

равносильно уравнению

Простейшие показательные уравнения получаются при . Они имеют соответственно вид :

Первое из этих уравнений равносильно уравнению , второе - уравнению .

Если задано уравнение

( > 0, ¹ 1, > 0, ¹ ), то его можно привести к уравнению вида

, где .

Это уравнение равносильно уравнению

Показательное уравнение

, где > 0, ¹ 1, - заданная функция, решают подстановкой . Для получают уравнение

Если - корни этого уравнения, удовлетворяющие условию , то корнями уравнения будут все корни уравнения

, где , т. е. корни уравнений

При решении показательных неравенств следует помнить, что функция ( > 0, ¹ 1) является возрастающей, если > 1, и убывающей, если 0 < < 1 . Поэтому неравенство вида

на пересечении областей определения функций и при > 1 равносильно неравенству

, а при 0 < < 1 - неравенству

Таким же образом

Если решается неравенство вида

( > 0), то при £ 0 решением неравенства будет любое ; если же > 0, то данное неравенство равносильно неравенству

, когда > 1, и неравенству

, когда 0 < < 1. Если = 1, то получаем числовое неравенство

Неравенство вида

( > 0) при £ 0 решений не имеет, а при > 0 равносильно совокупности систем

Неравенство вида

( или < 0)

с помощью подстановки > 0 сводится к квадратному неравенству

( или < 0)

и получаем в результате подстановки совокупности

или системы неравенств

где - корни квадратного трёхчлена .

Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма:

Функция должна удовлетворять условиям: > 0, ¹ 1; функции и должны быть положительными. В этих условиях справедливо утверждение

Теорема. Логарифмическое уравнение

равносильно уравнению

В общем случае это уравнение равносильно системе

В частном случае, когда , причём > 0, ¹1 это уравнение принимает вид

что равносильно системе

При решении уравнений вида

где - многочлен, вводится новая переменная

Уравнения, содержащие переменную в основании и в показателе степени, решают, как правило, логарифмированием обеих частей. Если в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения логарифмируют по основанию этого логарифма.

При решении логарифмических неравенств следует обращать внимание на то, что при основании, большем единице, логарифмическая функция монотонно возрастает, а при положительном основании, меньшем единицы, - монотонно убывает. В связи с этим при > 1 неравенство

равносильно неравенству

, а при 0 < < 1 - равносильно неравенству

в области определения неравенства.

Аналогично

Рассмотрим неравенства вида

( или < 0); (или < ) где - некоторое число.

Решение каждого неравенства сводится к решению совокупности двух систем неравенств, равносильной данному неравенству в области его определения.

Используя свойство логарифмов о том, что логарифм положителен, если логарифмируемое число и основание логарифма лежат по одну сторону от единицы, и логарифм отрицателен, если они лежат по разные стороны от единицы, можем записать, что неравенство

равносильно совокупности систем неравенств