Определение логарифма, логарифм произведения, степени, частного. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМА. ЛОГАРИФМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СТЕПЕНИ, ЧАСТНОГО.

          Определение. Логарифмом положительного числа  по основанию  () называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

В записи  число  является основанием степени, - показателем,  - степенью. Число - это показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Следовательно, - это логарифм числа  по основанию :

  .

Можно сказать, что формулы  и  равносильны, выражают одну и ту же связь между числами ,  и  (при  > 0,  ¹ 1,  > 0). Число - произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается.

Равенство

называется основным логарифмическим тождеством.

Представляя в равенстве выражение  в виде степени, получим ещё одно тождество

 .

Теорема. Для чисел  > 0,  > 0,  > 0,  ¹ 1 верны следующие тождества, выражающие свойства логарифмов:

1) , т. е. логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей;

2) , т. е. логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя;

3)  , т. е. логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания.

Доказательство. 1) Пусть , . По основному логарифмическому тождеству , . Перемножим эти равенства: . По свойству степеней , т. е. . По определению логарифма

, т. е.

, что и требовалось доказать.

2) Пусть , . По основному логарифмическому тождеству: , . Тогда

.

По свойству степеней

  , т. е.

.

По определению логарифма

, т. е.

, что и требовалось доказать.

3) Пусть . По основному логарифмическому тождеству . Тогда

.

По определению логарифма

, т. е. . Теорема доказана.

ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО ОСНОВАНИЯ К ДРУГОМУ.

Если в равенстве  основание  равно 10, то логарифм называется десятичным и обозначается . Если же в равенстве  основание  равно , где  - бесконечная непериодическая десятичная дробь, то логарифм называется натуральным и обозначается . Свойства десятичных и натуральных логарифмов аналогичны свойствам обыкновенных логарифмов и они отличаются лишь формой записи.   

Рассмотрим некоторые свойства логарифмов:

1. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, т. е. .
2. Если логарифм некоторого числа равен нулю, то это число равно единице, т. е. когда , то .
3. Если число и основание логарифма равны между собой, то логарифм равен единице, т. е. . В частности , .
4. Если логарифм некоторого числа равен единице, то это число равно основанию логарифма, т. е. если , то .
5. Если два числа имеют один и тот же логарифм при данном основании, то эти числа равны между собой, т. е. из равенства  следует .
6. Если число и основание логарифма одновременно больше или меньше единицы, то логарифм положителен, т. е. если  (или ) то .
7. Если число и основание логарифма расположены по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен, т. е. если  а  или  а , то .
8. . В частности , .
9. Если основание логарифма больше единицы, то большему из двух положительных чисел соответствует больший логарифм, т. е. если  и , то .
10. Если основание логарифма меньше единицы, то большему из двух положительных чисел соответствует меньший логарифм, т. е. если  и , то .

Между логарифмами некоторого положительного числа с двумя разными основаниями и существует зависимость, которую можно выразить формулой

.

Эту формулу называют формулой перехода от одного основания к другому.  В частности из неё следует, что  или , кроме того , .

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЛОГАРИФМЫ.

Используя свойства логарифмов, можно представить логарифм некоторого выражения, составленного из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, в виде суммы логарифмов входящих в него чисел.

Такое преобразование называют логарифмированием.

     Пример 1. Прологарифмировать выражение по основанию  ().

 .

Решение. Применяя свойства логарифмов, получим

.

Во многих случаях приходится решать обратную задачу, т. е. находить выражение, логарифм которого представлен через логарифмы некоторых чисел. Такое преобразование называют потенцированием.

     Пример 2. Найти , если

.

Решение.  Используя свойства логарифмов, получаем:

. Таким образом . Отсюда .

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.