Изменение средних значений, наблюдаемых во времени. Соотношение неопределённости для энергии. Теоремы Эренфеста и предельный переход к классической механике. Законы сохранения и их связь с симметрией пространства, времени и внешнего поля, страница 3

С другой стороны в результате преобразования s уравнение Шредингера должно приобрести вид

                                   ,                                                          (1.95)

где - новый оператор Гамильтона системы. Как видно из двух последних формул оператор Гамильтона преобразуется по формуле

                                        .                                              (1.96)

Если s – преобразование симметрии системы, то . Тогда, умножая обе стороны равенства (1.96) на оператор , получим

                           .                                              (1.97)

Итак, в случае преобразования симметрии оператор  должен коммутировать с оператором Гамильтона системы.

Однородность времени.

Однородность времени означает инвариантность системы по отношению к временному сдвигу

                               .                                  (1.98)

Считая сдвиг бесконечно малым, найдём оператор преобразования . С учётом (1.92) получим

   .          

Из последней формулы следует, что оператор сдвига во времени имеет вид

             .                                                                      (1.99)

Из свойства однородности времени вытекает, что оператор Гамильтона замкнутой системы должен коммутировать с оператором . Это возможно только в том случае, когда оператор  не зависит явно от времени. Последнее, как следует из формулы (1.78), означает, что энергия системы сохраняется.

Однородность пространства.

Совершим малый сдвиг системы в пространстве, который описывается вектором

                                                              .                                            (1.100)

Оператор сдвига определяется из следующей выкладки

               и равен

                                              (1.101)

Из свойства однородности пространства, таким образом, следует, что оператор импульса должен коммутировать с оператором Гамильтона. Следовательно, импульс замкнутой системы сохраняется во времени.

Изотропность пространства.

Введём малый аксиальный вектор и совершим поворот системы вокруг этого вектора на угол . Координаты системы при этом получат приращение

.                                                (1.102)

Оператор соответствующего преобразования в пространстве волновых функций определяется выражением

и равен

,                                             (1.103)

где - оператор момента импульса. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, приходим к выводу о сохранении  момента импульса замкнутой системы.

Симметрия правого и левого.

Указанная симметрия проявляется в инвариантности гамильтониана системы по отношению к инверсии её координат. В отличие от рассмотренных ранее преобразований симметрии данное преобразование является дискретным и в классической физике не приводит к каким-либо законам сохранения. В квантовой механике симметрия правого и левого приводит к ещё одному закону сохранения.

Введём оператор инверсии , действие которого сводится к перемене знака всех координат

                                    (1.104)

Найдём собственные функции и собственные значения оператора инверсии. Собственные функции должны удовлетворять уравнению

,                                                   (1.105)

где - собственное значение оператора. Подействуем оператором инверсии на обе стороны выражения (1.105). С учётом того, что двукратное применение оператора инверсии оставляет функцию неизменной, получим

                                        (1.106)

Как видно из последнего равенства  может принимать только два значения 1 или -1. Соответственно, собственные функции разбиваются на два типа. Функции, принадлежащие собственному значению +1, оказываются чётными

,                       (1.107)

а собственному значению -1, нечётными

.                      (1.108)

В силу симметрии правого и левого, собственные значения оператора инверсии, а следовательно и указанные свойства волновых функций, должны сохраняться во времени. Свойство волновой функции системы оставаться чётной (или нечётной) с течением времени называется законом сохранения чётности.

Все рассмотренные выше законы сохранения имеют место для замкнутой системы. При наличии внешнего поля, у которого имеются некоторые элементы симметрии, могут иметь место отдельные законы сохранения, связанные с соответствующими преобразованиями симметрии. В частности, если потенциальная функция не зависит явно от времени, имеет место закон сохранения энергии системы. Неизменность потенциальной функции  при сдвиге вдоль (повороте вокруг) некоторой оси, ведёт к сохранению проекции импульса (момента импульса) на данную ось.