Изменение средних значений, наблюдаемых во времени. Соотношение неопределённости для энергии. Теоремы Эренфеста и предельный переход к классической механике. Законы сохранения и их связь с симметрией пространства, времени и внешнего поля, страница 2

.           (1.84)

При усреднении было учтено очевидное равенство , а для среднеквадратичной флуктуации координаты введено обозначение . Из полученной формулы видно, что квантовое уравнение движения переходит в классическое

,                                              (1.85)

если можно пренебречь вторым слагаемым в формуле (1.84). Для этого должно выполняться условие

  .                                        (1.86)

Выполнению этого условия способствует локализация частицы в ограниченной области пространства и достаточно гладкие потенциальные функции.

Классическая механика предполагает также квадратичную зависимость кинетической энергии от импульса частицы, то есть в данном случае для средних значений должно выполняться равенство . Вместо этого в квантовой механике имеем . Условие перехода от квантовой к классической формуле видно из следующих простых выкладок

, где - среднеквадратичная флуктуация импульса. Переход к классическому выражению возможен при условии, что

  ,                                                   (1.87)

для выполнения которого нужно, чтобы частица обладала достаточно большим импульсом. Выражения (1.86) и (1.87) можно объединить. Перемножая почленно левые и правые части неравенств, и учитывая, что , получим

                                                   или

        .                                     (1.88)

Итак, стоящая в левой части неравенства величина, имеющая размерность момента, должна быть намного больше постоянной Планка.

В квантовой механике момент импульса обладает дискретным спектром, а его проекции могут изменяться только на величину кратную постоянной Планка (см. лекцию №4). Фактом квантования момента можно пренебречь и считать спектр его значений непрерывным, если среднее значение момента намного больше . Таким образом, переход к классическому описанию возможен, если все величины, характеризующие систему и имеющие размерность момента намного больше постоянной Планка.

      Законы сохранения и их связь с симметрией пространства, времени и внешнего поля.

Особую роль в квантовой механике играют физические величины, операторы которых не зависят от времени и коммутируют с оператором Гамильтона. Выше было показано, что среднее значение таких величин сохраняется. Существует связь между законами сохранения и симметрией пространства, времени и внешнего поля. Совокупность экспериментальных фактов свидетельствует о том, что пространство является однородным и изотропным, а время однородным. Кроме того, во всех фундаментальных физических взаимодействиях, за исключением «слабого» имеет место симметрия правого и левого. Симметрия системы проявляется в инвариантности уравнений теории по отношению к тем или иным преобразованиям координат и времени. При этом неизменным должно оставаться в данном случае не только уравнение Шредингера, но и оператор Гамильтона системы. Преобразования, которые оставляют гамильтониан системы инвариантным называются преобразованиями симметрии данной системы

Прежде, чем рассматривать преобразования симметрии, определим, как меняются волновые функции системы при произвольных преобразованиях координат. Пусть s - некоторое преобразование координат, в результате которого точка системы r переходит в , так что

            .                                  (1.89)

При переходе к новым координатам вид волновой функции должен измениться. Это изменение можно описать с помощью оператора , который является отображением преобразования координат s на пространство волновых функций:

       .                                              (1.90)

При этом должно иметь место равенство

,                                                         (1.91)

поскольку  - координаты одной и той же точки системы, соответственно, до и после преобразования. Подставляя в (1.91) выражение (1.90), получим

         ,           (1.92)

где символом  обозначено обратное преобразование координат . Из последней формулы вытекает, что действие оператора на волновую функцию сводится к обратному преобразованию над её аргументом.

Рассмотрим теперь, как изменится уравнение Шредингера, если провести преобразование s над координатами системы. Для этого подействуем оператором  на обе стороны уравнения Шредингера и вставим в правую его часть единичный оператор  , который не меняет стоящее справа от него выражение (- оператор обратного по отношению к оператору  преобразования).

                            .            (1.93)

С учётом формулы (1.90) получим

                             .                                                          (1.94)