Изучение конструкции нагревательных печей и исследование процесса нагрева термически массивных и тонких тел: Методические указания к лабораторной работе № 3 по курсу "Теплотехника", страница 2

Основной задачей расчета нагрева заготовок является нахождение изменения температуры во времени по сечению заготовки. При нагреве по сечению заготовки возникает перепад температур D t= tпов- tц, то есть  разность между более прогретыми поверхностными  (tпов)и менее нагретыми внутренними (tц ) слоями. Перепад температур в теле определяется его тепловым сопротивлением  d  / l  и зависит от условий нагрева: удельной плотности теплового потока q ;  скорости нагрева ; коэффициента теплоотдачи a  и др.

Во многих случаях разность температур по сечению изделия (заготовки) оказывается незначительной (D t  = 0  иtпов =  tц ). Такие изделия  принято называть термически тонкими. Термически тонкое изделие характеризуется либо небольшой  толщиной  прогреваемого слоя (d), либо очень высоким коэффициентом теплопроводности (l). Материалы  ведут себя при нагреве как тонкие  при условии, что критерий Био, учитывающий соотношение тепловых сопротивлений при передаче тепла теплопроводностью в нагреваемом теле и конвекцией от окружающей тело среды (Bi = a d / l ), имеет значения Bi £  0,25 . Если критерий Био имеет значения Bi ³  0,50, то такие изделия в процессе нагрева ведут себя как термически массивные и для них необходимо учитывать перепад температур по сечению при составлении режима нагрева. При расчете нагрева и охлаждения изделий используют одинаковые математические зависимости, отличающиеся лишь знаком.

Если нагреваемое цилиндрическое тело имеет длину, превышающую в несколько раз (не менее чем в четыре - пять раз) его диаметр, то можно считать, что тепло поступает в тело только через боковую поверхность и передачей тепла через торцы цилиндра можно пренебречь / 1, 2 /. Такой образец можно считать бесконечно длинным цилиндром.

Изменение температуры тела во времени описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, которое для бесконечно длинного цилиндра имеет вид

д t /дt = а (д² t / дr₂ +  1 / r (д t / дr)),                   ( 1)

где   t – температура в  точке, отстоящей от оси цилиндра на расстоянии  r в момент времени t ; а = l / r с – коэффициент температуропроводности,  м2/ч. Здесь l - коэффициент теплопроводности, Вт / (м2  0С);   r - плотность, кг / м3; с – удельная теплоемкость, кДж /(кг 0С).

Для получения однозначного решения уравнения (1) его нужно решать совместно с уравнениями краевых условий, состоящих из начальных и граничных условий. Существует четыре способа задания граничных условий:

1) граничные условия первого рода, когда задано распределение температуры на поверхности тела как функция времени  t_п = f₁ (t ) , в простейшем случае  t_п = const ;

2)  граничные условия  второго  рода,  когда  задан   тепловой  поток     q = f₂ (t );

3)граничные условия третьего рода, когда заданы закон изменения температуры окружающей среды t_п = f ₃ ( t ) и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Обычно закон теплообмена задается в форме уравнения Ньютона-Рихмана    q = a (t₂ – t₁);

4) граничные условия четвертого рода, характеризующие условия теплообмена тела с окружающей средой или другим телом по закону теплопроводности Фурье  q = -lgradT.

Граничные условия третьего рода для цилиндра бесконечной  длины можно записать

t_{t =0} = t_н,  при  r = R    дt / дr = -  a / l ( t_по– t),

где tн ,  tпо , t  - температуры образца соответственно начальная, поверхности и текущая, 0 С;  R – радиус цилиндра, м; a - коэффициент теплоотдачи от среды к поверхности нагреваемого тела, Вт/(м2 0С); l - коэффициент теплопроводности нагреваемого тела Вт/(м  0С).

Решение уравнения (1) в критериальной форме  имеет вид