Построение гистограммы и графика эмпирической функции распределения

Выборка 163

0,5293 1,0525 0,0405 -0,21 2,0137

-1,077 0,9466 0,5732 -0,499 0,6525

1,3832 0,3322 0,2652 -1,888 -1,005

1,3238 -1,147 0,3384 0,7108 0,6858

-0,816 0,18 0,776 -1,344 -0,633

-1,683 -0,1 -1,276 -1,096 -0,763

-1,278 0,7818 0,9604 1,0098 0,705

0,7928 -1,996 0,6751 1,7536 0,8408

0,2878 -0,061 -0,582 -1,105 -0,931

-0,066 -0,188 -0,346 1,9303 0,673

Выборка 164

0,4406 0,2635 0,145 1,1332 0,987

0,2278 -0,255 0,1385 -0,47 -1,212

-0,975 -1,48 -0,908 -0,663 1,3251

0,1572 -0,926 1,3106 0,7255 0,8143

-0,024 -0,388 0,7273 -0,137 -1,989

-0,565 0,5663 2,6339 1,7368 0,0039

1,1871 -0,15 0,5542 1,7502 0,1524

-0,898 1,297 0,022 0,0271 -0,031

0,3057 -0,269 -0,249 -0,382 0,3554

-0,812 0,8608 0,1702 1,9112 0,7695

Задание 1.

По выборке 163:

А) Построить гистограмму

Находим количество групп и величину интервала.

   К=5 

Б) Построить график эмпирической функции распределения.

Выполнен на отдельном листе.

В) Получить оценки математического ожидания, дисперсии, коэффициентов эксцесса и асимметрии.

Для их нахождения понадобится:

Получается:

Г) Чтобы проверить гипотезу о нормальности теоретического распределения, применим гипотезы Андерсона-Дарлинга и Жарка-Бера.

Критерий Жарка-Бера:

Для расчетов потребуются коэффициенты асимметрии и эксцесса:

р=1,034

По ε находим С: ; С=-2ln ε

Для ε=0,05 C=5,99

Вывод: Гипотеза Н₁ верна.

Критерий Андерсона-Дарлинга:

Для расчетов потребуется:

Получаем:

А²=0,452

А^2*=0,459

Вывод: Гипотеза Н₁ неверна.

Д) Построить доверительные интервалы с уровнями доверия 0,9 и 0,95 для каждого из неизвестных параметров распределения.

Доверительный интервал для а при неизвестном σ²

При   τ=1,68  (-0,4032≤ а ≤0,1352)

При τ=2,01   (-0,4561≤ а ≤0,1881)

Доверительный интервал для σ² при неизвестном а:

При    (0,9482≤  ≤1,8538)

При   (0,8958 ≤ ≤1,9937)

Задание 2.

По двум выборкам проверить:

А) гипотезу об их независимости

выборка 163 выборка 164		[-2;-0,5]	[-0,4;0,5]		[0,6;2]	λ
[-2;-0,5]		3	5		3	11
[-0,4;0,5]		7	14		4	25
[0,6;3]		6	5		3	14
µ	16		24	10		50

Для расчета p воспользуемся формулой:

При расчете сумма будет включать в себя девять слагаемых, которые мы опустим.

Получаем:

ε=0,05

С= h_1-ε =9,49

И определяем верную гипотезу

Вывод: Верна первая гипотеза.

Б) Проверим гипотезу однородности в предположении нормальности этих выборок

Критерий Фишера:

Получаем:

p=1,704

По ε находим f_1-ε-квантиль уровня 1-ε Распределения F_n-1,m-1

ε =0,05 f_1-ε=1,61

Вывод: Верна первая гипотеза.

Критерий Стьюдента:

Получаем:

Где квантиль уровня распределения  

=1,98

Вывод: Верна первая гипотеза

В) Проверим гипотезу однородности в отсутствие сведений о нормальности (критерий Вилкоксона, Манна, Уитни)

Проверяется сложная гипотеза

H₁ = {  } при альтернативе H₂ = {H₁ неверна}.

Составим из выборок общий вариационный ряд и подсчитаем U. В общем вариационном ряду  ранги (номера мест, которые занимают элементы выборки Y в этом ряду).

 

Определяем C по ε

ε =0,05

С=1,96

U=1434

p=1,269

Вывод: Верна первая гипотеза