Производная функции. Пример задачи приводящей к понятию производной. Физический смысл производной, страница 4

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен производной этой функции, вычисленной в точке касания. Прежде всего, надо дать определение касательной к произвольной линии. Касательная к линии есть предельное положение МТ секущей MM₁, когда точка M₁, стремится по линии к точке М (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Точка М называется точкой касания.

Рис. 2.7

          при         

Итак, производная функции y=f(x) в данной точке есть тангенс угла наклона  касательной  к графику функции в этой точке.

Мы рассмотрели ряд задач из физики и геометрии, при решении которых появляется производная. Число подобных задач будет увеличиваться по мере изучения математики, физики и техники: всюду, где надо охарактеризовать скорость изменения функции, появляется производная. Отыскание производной называется дифференцированием.

Докажем ряд теорем о функциях, имеющих производные:

Теорема 1.  Если функция имеет производную, то она непрерывна.

, что и требовалось доказать.

Обратное   утверждение  неверно.   Функция y=|x|непрерывна при х = 0, но производной в этой точке не имеет.

Теорема 2.   (правила    вычисления    производных) Если функции: и = и(х) и v = v(x) имеют производные, то

I. 

II. 

III.  (Си)' = Си' (С—постоянная);

IV. 

Доказательство:

По определению производной, имеем

I.

II.

III.

  так как

IV.

Следующие теоремы рассмотрим без доказательств.

Теорема 3. (производная сложной функции). Пусть функции y = f(t) и t = g(x) имеют производные. Тогда сложная функция y= f(g(x)) имеет производную и

Теорема   4. (производные обратных функций). Производные от взаимно обратных функций обратны по величине. Записывают это так    или .

Например, , , . Следовательно .

       Теорема 5. Дифференцирование функций заданных неявно

f(x,y)=0 неявный вид функции

При задании функции в неявном виде, находят производные левой и правой части уравнения, а затем выражают y'

Пример: x²+y²=R²,     R=const,    2x+2y y'=0,  y'=-2x/(2y)=- x/y

Метод логарифмического дифференцирования

В случае если функция задана в виде y=u^v то она называется показательно - степенной. Чтобы найти производную данной функции необходимо перед дифференцированием провести логарифмирование.

,   

      т.к. y=u^v   

Пример: y=x^x  

, ,

.

Этот метод также используют для дифференцирования сложных выражений, в которых есть произведения, частное, всевозможные степени. Пример:,

Производные основных элементарных функций составляют таблицу основных производных:

I.                                             VIII.

II.                                    IX.  

III.                                              X.  

IV.                                   XI.   

V.                                            XII.

VI.                                         XIII.

VII.                                  XIV. 

Производная в свою очередь есть функция от х. Может оказаться, что эта функция имеет производную; эта производная называется второй производной от функции у = f(х) и обозначается f" (х) или у", так что  или .

Все производные, начиная со второй, называются старшими производными, или производными высших порядков. Производная называется первой производной.