Проектирование сумматора по модулю пять

осуществления алгоритмов декомпозиции и оптимизации функций системы (5) применим декомпозиционные таблицы. Построим такие таблицы для каждой из функций

y₁, y₂, y₃, соответственно, Таблица 10, 12 и 15. Серым фоном в таблицах обозначим вычеркнутые переменные и импликанты.

1) Декомпозиция функции y₁.

α = 1

K_α = ₃₄

D_α = 0

j_min = 1.

Таблица 10.

Декомпозиция										Оптимизация
j	z1	z2	z3	z4	z5	z6	y1	F11	F21	F21	y1	F11
3	1	1	1	0	0	0	0
2	1	1	0	0	0	0	0	v	1	1	*	v
	1	0	1	0	0	0	0
	0	1	1	0	0	0	0
	0	1	0	0	0	1	1	1	0	0	1	1
	0	0	1	0	1	0	0
	0	0	0	0	1	1	0	v	1	1	*	v
1	1	0	0	0	0	0	1	1	0	0	1	1
	0	1	0	0	0	0	0				0
	0	0	1	0	0	0	0
	0	0	0	1	0	0	0
	0	0	0	0	1	0	1	1	0	0	1	1
	0	0	0	0	0	1	0				0

F₂₁ = z₁z₂  v  z₅z₆ 

Таблица 11.        

№	Конъюнкция	∩ M0	Кол-во покрываемых импликант	Множество импликант
1	z2	z2z6	*	-
2	z6	z2z6	*	-

F₂₁ = z₁z₂  v  z₅z₆          

F₁₁ = z₁  v  z₅  v  z₂z₆

y₁ = K_α * ( v D_α ) = ₃₄ * (z₁  v  z₅  v  z₂z₆).

2) Декомпозиция функции y₂.

α = 1

K_α = ₅

D_α = z ₄

j_min = 1.

Таблица 12.

Декомпозиция												Оптимизация
j	z1	z2	z3	z4	z5	z6	y2	F11	F21	y’2	F12	F12	y2	F11	F21	F21	y’2	F11
3	1	1	1	0	0	0	1	v	v	1	1	v	*	v	v	v	*	v
2	1	1	0	0	0	0	0	v	1	0			0	v	1	v	*	v
	1	0	1	0	0	0	0			0			0			v	*
	0	1	1	0	0	0	1	v	0	*		1	*	v			1	v
	0	1	0	0	0	1	0	v	1	0			0	v	1	1	*	v
	0	0	1	0	1	0	0
	0	0	0	0	1	1	0
1	1	0	0	0	0	0	0			0			0			1	*
	0	1	0	0	0	0	1	1	0	*			1	1	0	0	1	1
	0	0	1	0	0	0	0			0			0				0
	0	0	0	1	0	0	1
	0	0	0	0	1	0	0
	0	0	0	0	0	1	1	1	0	*			1	1	0	0	1	1

F₁₂ = z₁z₂z₃    

Таблица 13.     

№	Конъюнкция	∩ M0	Кол-во покрываемых импликант	Множество импликант
1	z1z2	z1z2	*	-
2	z1z3	z1z3	*	-
3	z2z3	*	1	+

F₁₂ = z₂z₃

№	Конъюнкция	∩ M0	Кол-во покрываемых импликант	Множество импликант
4	z2	z1z2	*	-
5	z3	z1z3	*	-

F₁₂ = z₂z₃

F₂₁ = z₁z₂  v  z₂z₆

Таблица 14.   

№	Конъюнкция	∩ M0	Кол-во покрываемых импликант	Множество импликант
1	z1	-	1	+
2	z3	-	0	-

F₂₁ = z₁  v  z₂z₆    

F₁₁ = z₂  v  z₆

y₂ = K_α * ( v  v D_α ) = ₅ * [(z₂  v  z₆) v z₂z₃  v  z ₄].

3) Декомпозиция функции y₃.

α = 1

K_α = 1

D_α = z ₄

j_min = 1.

Таблица 15.

Декомпозиция										Оптимизация
j	z1	z2	z3	z4	z5	z6	y3	F11	F21	F21	y3	F11
3	1	1	1	0	0	0	0	v	v	v	*	v
2	1	1	0	0	0	0	1	1	0	0	1	1
	1	0	1	0	0	0	0	v	1	1	*	v
	0	1	1	0	0	0	1	v	0	0	1	v
	0	1	0	0	0	1	0				0
	0	0	1	0	1	0	0	v	1	1	*	v
	0	0	0	0	1	1	1		0	0	1	1
1	1	0	0	0	0	0	0				0
	0	1	0	0	0	0	0				0
	0	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1
	0	0	0	1	0	0	1
	0	0	0	0	1	0	0				0
	0	0	0	0	0	1	0				0

F₂₁ = z₃z₅  v  z₁z₃   

Таблица 16.

№	Конъюнкция	∩ M0	Кол-во покрываемых импликант	Множество импликант
	z1	z1z2	*	-
1	z3	z3	*	-
2	z5	z5z6	*	-

F₂₁ = z₃z₅  v  z₁z₃    

F₁₁ = z₃  v  z₁z₂  v  z₅z₆

y₃ = K_α * (v D_α ) = (z₃  v  z₁z₂  v  z₅z₆) v  z ₄.

В результате получили следующую систему функций:

                                         y₁ = ₃₄ * (z₁  v  z₅  v  z₂z₆)

Y =           y₂ = ₅ * [(z₂  v  z₆) v z₂z₃  v  z ₄]                      (6)

y₃ = (z₃  v  z₁z₂  v  z₅z₆) v  z ₄.

Построим карты Карно полученных функций. В пустых клетках карт значения соответствующей функции примем равным нулю.

y1
								z1
						z2
	z4
														z6
		z5
				1			1					1
														z6
							1					1
												1
					z3				z3

y2
								z1
						z2
	z4			1	1	1	1	1	1		1	1
				1	1	1	1	1	1		1	1		z6
		z5
														z6
				1	1	1			1
						1	1		1
					z3				z3

 

 

y3
								z1
						z2
	z4			1	1	1	1	1	1		1	1
				1	1	1	1	1	1		1	1		z6
		z5		1	1	1	1	1	1		1	1
				1	1	1	1	1	1		1	1
								1
				1			1	1				1		z6
					1	1		1
					1	1		1
					z3				z3

Данные карты полностью покрывают все единичные значения соответствующих функций, полученных в результате замены симметричных переменных, и при этом не реализуют ни одного запрещенного набора этих функций, из чего делаем вывод о том, что декомпозиция системы функций алгебры логики выполнена верно.

ВЫБОР ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ.

При выборе элементной базы проектируемого устройства будем руководствоваться требованиями технического задания. Исходя из значений максимальной потребляемой мощности и максимального времени формирования выходного сигнала, рассчитаем допустимую сложность синтезируемой схемы и ее максимальную допустимую глубину. Данные расчета отображены в Таблице 17. Выделим серым фоном серии, подходящие по указанным параметрам.

P_max = 70 мВт.

T_{форм. max} = 120 нс.

Таблица 17.

Тип	Серия ИС	Параметр
		Глубина схемы	Сложность схемы
ТТЛ	130	12	3
	К131	12	3
	К134	1	70
	К133, КМ133	5	7
	К155, КМ155	5	7
ТТЛШ	К555, КМ555	6	35
	533	6	35
	530	24	3
	КР531, КМ531	24	3
	КР1533	10	70
	1531	20	17
	КР1531	30	17
ЭСЛ	100	41	2
	К500	41	2
	К1500	160	1
КМОП	К561	0	-
	564	0	-
	1564	2	3365
	КР1554	7	3365
НОПТШ	К6500	285	20

Теперь рассмотрим требования, накладываемые по условиям эксплуатации проектируемого устройства, и из отмеченных выберем серии ИС, удовлетворяющие данным требованиям.

Таблица 18.

Параметр		Предельные допустимые значения
tрабоч., °C		-300  ÷  +400
Перегрузки, g		до 5
Одиночные удары	с частотой, Гц	не > 10
	длительностью, мкс	0.1  ÷  1
Вибрация	с частотой, Гц	10  ÷  500
	с ускорением, g	не > 10
Срок эксплуатации	всего, лет	15
	наработка за время эксплуатации, ч	85000

Данным требованиям удовлетворяет лишь одна серия ИС – КР1554. Указанная серия микросхем включает в себя всю номенклатуру ИС, необходимых для построения проектируемого устройства.

ФАКТОРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Проведем факторизацию систем функций алгебры логики, полученных в результате минимизации системы и в результате декомпозиции, и сравним сложности реализации устройства в том и другом представлении.

1. Факторизация системы логических уравнений, полученной в результате декомпозиции.

 z₁  v  z₅  v  z₂z₆

 z₁z₂  v  z₅z₆

 

 z₂  v  z₆

 z₁  v  z₂z₆                                                                                                               (7)

 z₂z₃

 z₄

 z₃  v  z₁z₂  v  z₅z₆

 z₁z₃  v  z₃z₅

 z₄

Дизъюнктивные факторы:

D₁ = z₁z₂  v  z₅z₆

D₂ = z₁  v  z₂z₆

Таблица 19.

Фактор	Порождающее множество	Качество
D1	,	3
D2	,	2

Для факторизации могут быть использованы оба фактора, поскольку конъюнкции, входящие в их, состав не встречаются в других факторах. В результате факторизации получаем выражения:

 z₅  v  D₂

 D₁

 

 z₂  v  z₆

 D₂

 z₂z₃

 z₄

 z₃  v  D₁

 z₁z₃  v  z₃z₅

 z₄ .

Конъюнктивные факторы:

    K₁ = z₃

Преобразуем выражения (7) с учетом дизъюнктивных и конъюнктивных факторов:

 z₅  v  D₂

 D₁

 

 z₂  v  z₆

 D₂

 z₂z₃

 z₄

 z₃  v  D₁

 K₁*(z₁  v  z₅)

 z₄ .

Тогда система функций (6) принимает вид:

                                         y₁ = ₃₄ * (z₅  v  D₂)

Y =           y₂ = ₅ * [(z₂  v  z₆) v z₂z₃  v  z ₄]                                           (8)

y₃ = (z₃  v  D₁) v  z ₄.

Сложность данного представления

L(Y) = L”(y₁) + L”(y₂) + L”(y₃) + L(Z) + L(D₁) + L(D₂) , где L”(y_i) – сложность представления функции y_i без учета сложности реализации

z-функций, L(Z) – суммарная сложность реализации z-функций, L(D_i) – сложность i-го фактора. Тогда

L(Y) = 7 + 8 + 6 + 15 + 3 + 2 = 41                           

оператор И, ИЛИ, НЕ.

2. Факторизация системы логических уравнений, полученной в результате минимизации.

В системе функций (5) можно выделить лишь один конъюнктивный фактор K₁ = z₁₃ , выделение которого уменьшает сложность данного представления системы функций на 1 оператор, т.е. L(Y) = 42. Система принимает вид:

                                         y₁ = ₂₆   v  ₃₅₆  v  K₁₂

Y =           y₂ = ₄   v  ₂₃   v ₁₂₆   v  ₂₅₆                            (9)

y₃ = ₄   v  ₅₆   v ₁₃₅   v  K₁₂

При несущественной разнице в сложности представлений системы функций, описывающей работу устройства, сложно однозначно судить о наиболее рациональном способе реализации проектируемой схемы. Рассмотрим более детально варианты таких схем.

РАЗРАБОТКА ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ СХЕМЫ СИНТЕЗИРУЕМОГО УСТРОЙСТВА.

Рассмотрим номенклатуру ИС, которые включает в себя серия КР1554.

Таблица 20.

Тип элемента	Обозначение	Максимальное время переключения, нс	Ток потребления (при 0 сигнале на выходе), мкА	Ток потребления (при 1 сигнале на выходе), мкА	Зарубежн. аналог
2х4И-НЕ	ЛА1	10	40	4	74AC20
4x2И-НЕ	ЛА3	8			74AC00
3х3И-НЕ	ЛА4	10			74AC10
4х2ИЛИ-НЕ	ЛЕ1	8			74AC02
3х3ИЛИ-НЕ	ЛЕ4	10			74AC27
4х2И	ЛИ1	10			74AC08
2х4И	ЛИ6	10			74AC21
4х2ИЛИ	ЛЛ1	10			74AC32
6х1НЕ	ЛН1	10			74AC04
4х2ИСКЛ. ИЛИ	ЛП5	20	80	8	74AC86
6 буферных элементов без инверсии	ЛИ9	10	40	4	74AC34

Рассчитаем объем оборудования, необходимый для реализации систем функций (8) и (9) в различных базисах. Преобразуем эти системы для удобства рассмотрения их построения в ином базисе.

Преобразованная система (8):

                                         y₁ = (z₃  v  z₄) * ( (z₅  v  D₂)  v  D₁)

Y =           y₂ = z₅  v  ( ((z₂  v  z₆)  v  D₂)  v  ( z₂z₃ * z₄ ) )                                    (10)

y₃ = ( (z₃  v  D₁)  v  ( K₁  v  (z₁  v  z₅) ) )  * z₄  ,    где

K₁ = z₃ ,   D₁ = (z₁ * (z₂z₆) ),    D₂ = ( (z₁z₂₎ * (z₅z₆) ).

Преобразованная система (9):

                                         y₁ =  (z₂z₆) * (z₃ z₅ z₆) * (z₂ * K₁)

Y =           y₂ = z₄  v  (z₂z₃) * (z₁ z₂ z₆) * (z₂ z₅ z₆)                                               (11)

y₃ = z₄  v  (z₅z₆) * (z₁ z₃ z₅) * (z₂ * K₁)  ,    где

K₁ = ₁₃.

Данные по требуемому оборудованию отобразим в Таблице 21.

Таблица 21.

№	Метод синтеза	Система фун-ий	Тип логического элемента	Кол-во эл-тов	Тип ИС	Кол-во ИС	Число неиспользуемых элементов	h/V
1	Минимизация	(9)	2И 2ИЛИ НЕ	14 8 5	ЛИ1 ЛЛ1 ЛН1	4 2 1	2 - 1	4/7
2		(11)	4И-НЕ 3И-НЕ 2И-НЕ 2И НЕ	2 6 4 1 6	ЛА1 ЛА4 ЛА3 ЛИ1 ЛН1	1 2 1 1 1	- - - 3 -	3/6
3	ПМФ	(8)	2И 2ИЛИ НЕ	11 9 6	ЛИ1 ЛЛ1 ЛН1	3 3 1	1 3 -	6/7
4		(10)	2И-НЕ 2ИЛИ-НЕ НЕ	8 12 5	ЛА3 ЛЕ1 ЛН1	2 3 1	- - 1	6/6
*h – максимальная глубина схемы;  V – объем требуемого оборудования.

В данной таблице не учтена сложность реализации самих z-функций, так как их реализация предельно проста вне зависимости от базиса. Однако, очевидно, что наиболее рациональна реализация системы (11) в базисе И-НЕ, НЕ, в то же время незадействованные 3 элемента 2И-НЕ можно использовать для реализации функций z₄, z₅, z₆, не увеличивая для этих целей объем оборудования. Функции z₁, z₂, z₃ реализуем с помощью трех элементов ИСКЛ.ИЛИ (сумматор по модулю два) ИС КР1554ЛП5, оставшийся неиспользуемым один