Проектирование сумматора по модулю пять

осуществления алгоритмов декомпозиции и оптимизации функций системы (5) применим декомпозиционные таблицы. Построим такие таблицы для каждой из функций

y₁, y₂, y₃, соответственно, Таблица 10, 12 и 15. Серым фоном в таблицах обозначим вычеркнутые переменные и импликанты.

1) Декомпозиция функции y₁.

α = 1

K_α = ₃₄

D_α = 0

j_min = 1.

Таблица 10.

F₂₁ = z₁z₂  v  z₅z₆ 

Таблица 11.        

F₂₁ = z₁z₂  v  z₅z₆          

F₁₁ = z₁  v  z₅  v  z₂z₆

y₁ = K_α * ( v D_α ) = ₃₄ * (z₁  v  z₅  v  z₂z₆).

2) Декомпозиция функции y₂.

α = 1

K_α = ₅

D_α = z ₄

j_min = 1.

Таблица 12.

F₁₂ = z₁z₂z₃    

Таблица 13.     

F₁₂ = z₂z₃

F₁₂ = z₂z₃

F₂₁ = z₁z₂  v  z₂z₆

Таблица 14.   

F₂₁ = z₁  v  z₂z₆    

F₁₁ = z₂  v  z₆

y₂ = K_α * ( v  v D_α ) = ₅ * [(z₂  v  z₆) v z₂z₃  v  z ₄].

3) Декомпозиция функции y₃.

α = 1

K_α = 1

D_α = z ₄

j_min = 1.

Таблица 15.

F₂₁ = z₃z₅  v  z₁z₃   

Таблица 16.

F₂₁ = z₃z₅  v  z₁z₃    

F₁₁ = z₃  v  z₁z₂  v  z₅z₆

y₃ = K_α * (v D_α ) = (z₃  v  z₁z₂  v  z₅z₆) v  z ₄.

В результате получили следующую систему функций:

                                         y₁ = ₃₄ * (z₁  v  z₅  v  z₂z₆)

Y =           y₂ = ₅ * [(z₂  v  z₆) v z₂z₃  v  z ₄]                      (6)

y₃ = (z₃  v  z₁z₂  v  z₅z₆) v  z ₄.

Построим карты Карно полученных функций. В пустых клетках карт значения соответствующей функции примем равным нулю.

Данные карты полностью покрывают все единичные значения соответствующих функций, полученных в результате замены симметричных переменных, и при этом не реализуют ни одного запрещенного набора этих функций, из чего делаем вывод о том, что декомпозиция системы функций алгебры логики выполнена верно.

ВЫБОР ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ.

При выборе элементной базы проектируемого устройства будем руководствоваться требованиями технического задания. Исходя из значений максимальной потребляемой мощности и максимального времени формирования выходного сигнала, рассчитаем допустимую сложность синтезируемой схемы и ее максимальную допустимую глубину. Данные расчета отображены в Таблице 17. Выделим серым фоном серии, подходящие по указанным параметрам.

P_max = 70 мВт.

T_{форм. max} = 120 нс.

Таблица 17.

Теперь рассмотрим требования, накладываемые по условиям эксплуатации проектируемого устройства, и из отмеченных выберем серии ИС, удовлетворяющие данным требованиям.

Таблица 18.

Данным требованиям удовлетворяет лишь одна серия ИС – КР1554. Указанная серия микросхем включает в себя всю номенклатуру ИС, необходимых для построения проектируемого устройства.

ФАКТОРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Проведем факторизацию систем функций алгебры логики, полученных в результате минимизации системы и в результате декомпозиции, и сравним сложности реализации устройства в том и другом представлении.

1. Факторизация системы логических уравнений, полученной в результате декомпозиции.

 z₁  v  z₅  v  z₂z₆

 z₁z₂  v  z₅z₆

 z₂  v  z₆

 z₁  v  z₂z₆                                                                                                               (7)

 z₂z₃

 z₄

 z₃  v  z₁z₂  v  z₅z₆

 z₁z₃  v  z₃z₅

 z₄

Дизъюнктивные факторы:

D₁ = z₁z₂  v  z₅z₆

D₂ = z₁  v  z₂z₆

Таблица 19.

Для факторизации могут быть использованы оба фактора, поскольку конъюнкции, входящие в их, состав не встречаются в других факторах. В результате факторизации получаем выражения:

 z₅  v  D₂

 D₁

 z₂  v  z₆

 D₂

 z₂z₃

 z₄

 z₃  v  D₁

 z₁z₃  v  z₃z₅

 z₄ .

Конъюнктивные факторы:

    K₁ = z₃

Преобразуем выражения (7) с учетом дизъюнктивных и конъюнктивных факторов:

 z₅  v  D₂

 D₁

 z₂  v  z₆

 D₂

 z₂z₃

 z₄

 z₃  v  D₁

 K₁*(z₁  v  z₅)

 z₄ .

Тогда система функций (6) принимает вид:

                                         y₁ = ₃₄ * (z₅  v  D₂)

Y =           y₂ = ₅ * [(z₂  v  z₆) v z₂z₃  v  z ₄]                                           (8)

y₃ = (z₃  v  D₁) v  z ₄.

Сложность данного представления

L(Y) = L”(y₁) + L”(y₂) + L”(y₃) + L(Z) + L(D₁) + L(D₂) , где L”(y_i) – сложность представления функции y_i без учета сложности реализации

z-функций, L(Z) – суммарная сложность реализации z-функций, L(D_i) – сложность i-го фактора. Тогда

L(Y) = 7 + 8 + 6 + 15 + 3 + 2 = 41                           

оператор И, ИЛИ, НЕ.

2. Факторизация системы логических уравнений, полученной в результате минимизации.

В системе функций (5) можно выделить лишь один конъюнктивный фактор K₁ = z₁₃ , выделение которого уменьшает сложность данного представления системы функций на 1 оператор, т.е. L(Y) = 42. Система принимает вид:

                                         y₁ = ₂₆   v  ₃₅₆  v  K₁₂

Y =           y₂ = ₄   v  ₂₃   v ₁₂₆   v  ₂₅₆                            (9)

y₃ = ₄   v  ₅₆   v ₁₃₅   v  K₁₂

При несущественной разнице в сложности представлений системы функций, описывающей работу устройства, сложно однозначно судить о наиболее рациональном способе реализации проектируемой схемы. Рассмотрим более детально варианты таких схем.

РАЗРАБОТКА ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ СХЕМЫ СИНТЕЗИРУЕМОГО УСТРОЙСТВА.

Рассмотрим номенклатуру ИС, которые включает в себя серия КР1554.

Таблица 20.

Рассчитаем объем оборудования, необходимый для реализации систем функций (8) и (9) в различных базисах. Преобразуем эти системы для удобства рассмотрения их построения в ином базисе.

Преобразованная система (8):

                                         y₁ = (z₃  v  z₄) * ( (z₅  v  D₂)  v  D₁)

Y =           y₂ = z₅  v  ( ((z₂  v  z₆)  v  D₂)  v  ( z₂z₃ * z₄ ) )                                    (10)

y₃ = ( (z₃  v  D₁)  v  ( K₁  v  (z₁  v  z₅) ) )  * z₄  ,    где

K₁ = z₃ ,   D₁ = (z₁ * (z₂z₆) ),    D₂ = ( (z₁z₂₎ * (z₅z₆) ).

Преобразованная система (9):

                                         y₁ =  (z₂z₆) * (z₃ z₅ z₆) * (z₂ * K₁)

Y =           y₂ = z₄  v  (z₂z₃) * (z₁ z₂ z₆) * (z₂ z₅ z₆)                                               (11)

y₃ = z₄  v  (z₅z₆) * (z₁ z₃ z₅) * (z₂ * K₁)  ,    где

K₁ = ₁₃.

Данные по требуемому оборудованию отобразим в Таблице 21.

Таблица 21.

В данной таблице не учтена сложность реализации самих z-функций, так как их реализация предельно проста вне зависимости от базиса. Однако, очевидно, что наиболее рациональна реализация системы (11) в базисе И-НЕ, НЕ, в то же время незадействованные 3 элемента 2И-НЕ можно использовать для реализации функций z₄, z₅, z₆, не увеличивая для этих целей объем оборудования. Функции z₁, z₂, z₃ реализуем с помощью трех элементов ИСКЛ.ИЛИ (сумматор по модулю два) ИС КР1554ЛП5, оставшийся неиспользуемым один