Линейные электрические цепи постоянного тока. Определение токов во всех ветвях цепи методом контурных токов, страница 2

Для общности записи в уравнения (1.2) в ветвях 4, 5, 6 включены ЭДС, равные нулю (Е₄ = Е₅ = Е₆ = 0).

;

;                                                                        (2.3)

;

                                                             (2.4)

;                                                                     (2.5)

Рассмотренный метод применения законов Кирхгофа является довольно громоздким из-за большого количества уравнений, поэтому расчет целесообразно вести другими методами, позволяющими уменьшить количество уравнений.

III. Метод контурных токов.

Метод заключается в том, что вместо действительных токов в ветвях на основании второго закона Кирхгофа определяют контурные токи в независимых контурах.

Контурным будет такой расчетный (условный) ток, который замыкается только по своему контуру.

Действительный ток в любой ветви, принадлежащей только одному контуру, численно равен контурному току, а в ветви, принадлежащей нескольким контурам, равен алгебраической сумме контурных токов. Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров (N = b – у + 1).

Последовательность расчета цепи следующая:

1. Задаёмся положительным направлением обхода в каждом независимом контуре, совпадающим с направлением контурного тока. Контурные токи для схемы будут I₁₁, I₂₂, I₃₃.

2. Cоставляем для каждого контура уравнение по второму закону Кирхгофа. В результате получаем систему трёх уравнений относительно контурных токов:

;

;                                                                (3.1)

.

Подставим значение сопротивлений и ЭДС.

;

;

.

Дальнейший расчёт ведём методом определителей.

3. Находим главный определитель (детерминант) системы:

                                                  (3.2)

где: r₁₁, r₂₂, r₃₃ – собственные сопротивления контуров;

r₁₂ = r₂₁ = r₄, r₁₃ = r₃₁ =r₃ + r₀₃, r₂₃ = r₃₂ = r₅ – сопротивление смежных контуров.

Каждый частный определитель Δ_k получают путём замены в главном определителе системы Δ k-того столбца сопротивлений столбцов контурных ЭДС, записанных в левой части системы уравнений (3.1).

При нахождении тока в первом контуре (k = 1), частный определитель имеет вид:

, где Е₁₁; Е₂₂; Е₃₃ – контурные ЭДС.

4. Контурные токи системы будут:

                                                                        (3.3)

Находим значения действительных токов в ветвях схемы и их истинное направление:

 А;

 А;

 А;

 А;

 А;

 А;

Систему уравнений (3.1) можно решить с помощью матриц.

                                                                   (3.4)

или в виде одного матричного уравнения

                                                               (3.5)

где:  - матрица столбцов неизвестных токов;

 - матрица, обратная матрице коэффициентов;

 - матрица столбец свободных членов уравнения (контурных ЭДС).

Решение уравнений производится в следующей последовательности:

1.  Составляется определитель Δ из элементов матрицы;

2.  Составляем обратную матрицу для него:

а) каждый элемент матрицы коэффициентов заменяют алгебраическим дополнениями с теми же нижними коэффициентами, которые имеют заменяемые ими элементы;

б)  транспортируют полученную матрицу алгебраических дополнений, для чего строки и столбцы её взаимно меняют местами;

в) делят полученную транспортированную матрицу на определитель Δ.

В результате этих действий обратную матрицу можно записать в виде выражения:

                                                         (3.6)

Коэффициенты Δ_nk представляет собой алгебраическое дополнение, связанные с минором М_nk, определителя уравнением.

                                                                            (3.7)

Минор получают из определителя вычёркиванием в нём строки n и столбца k. Для первого контура тока I₁₁ алгебраические дополнения равны:

Уравнение (3.7) переписываем в развёрнутой форме.

                                                (3.8)

Перемножим две матрицы правой части уравнения (3.8).

                                   (3.9)

Матрицы равны, если равны их элементы, поэтому

                                                                    (3.10)

 А;

 А;

 А.

IV. Метод двух узлов.

Применим данный метод для определения токов в схеме рисунка 1. Для этого, заменив в схеме рисунка 1. треугольник сопротивлений r₄, r₅, r₆, эквивалентной звездой. Получим эквивалентную схему (рисунок 4).