Интегрирование функций. Освоение правил замены подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом (Практическая работа № 9)

подынтегральной функции в ряд; вычисление несобственных интегралов с применением весовых функций.

                               ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

1. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами.

Заменяя подынтегральную функцию каким-либо интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы вида

,                                                                             (1)

где  – выбранные узлы интерполяции, – коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции , R– остаточный член, или погрешность квадратурной формулы. Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения. При расчете к ней ещё добавляются различные погрешности округления.

Разобьем отрезок интегрирования [a,b] на равных частей системой точек

, , , , и вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах

.

Квадратурные формулы для равноотстоящих узлов называются формулами Ньютона – Котеса. Формулы Ньютона – Котеса различаются степенями использования интерполяционных многочленов. Чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, обычно разбивают промежуток интегрирования на отдельные участки, применяют формулы Ньютона – Котеса с невысокими степенями на каждом участке и потом складывают полученные результаты (что даёт так называемые составные формулы).

а) формула трапеций:

,                                                       (2)

где . 

Остаточный член имеет вид

.

Формула трапеций даёт точное значение, когда подынтегральная  функция линейна, ибо тогда .

б) формула Симпсона (формула парабол):

 (3)

где

Остаточный член имеет вид

.

Формула Симпсона является точной для многочленов до третьей степени включительно, т.к. в этом случае .

Заметим, что в формуле Симпсона число узлов обязательно нечётное, т.е. четное, .

2. Квадратурные формулы Гаусса.

В квадратурных формулах Гаусса

                                                                     (4)

коэффициентыи абсциссы   подбираются так, чтобы формула была точной для всех многочленов наивысшей возможной степени . Числа ,  определены однозначно при . В табл. 1 приведены значения абсцисс  и коэффициентов  , а также формулы остаточных членов  при .

Таблица 1.

Неудобство применения квадратурной формулы Гаусса состоит в том, что коэффициентыи абсциссы , вообще говоря, иррациональные числа. Этот недостаток искупается ее высокой точностью при сравнительно малом числе узлов интегрирования. В тех случаях, когда подынтегральная функция сложна и на вычисление ее значений в каждом узле интегрирования требуется много времени, применение формулы Гаусса особенно выгодно.

Получить оценку погрешности результата, используя формулу остаточного члена, для формул Гаусса удается очень редко, так как это связано с вычислением производных высоких порядков от подынтегральной функции (см. табл. 1).

При вычислении интеграла  следует сделать замену переменной . Тогда формула Гаусса будет иметь вид:

,                                                                    (5)   где                                                                                               (6)

                                                                             (7)

Пример 1. По формуле Гаусса при n=5 вычислить интеграл

I =

Решение. Сделаем замену переменной .

Получим интеграл .

Составляем таблицу значений подынтегральной функции

и затем по формуле Гаусса при n=5 находим

.

3. Интегрирование с помощью степенных рядов.

Рассмотрим определенный интеграл 

.                                                                                                               (8)

Пусть подынтегральная функция  разлагается в степенной ряд , сходящийся в интервале , который содержит отрезок интегрирования .

По теореме о почленном интегрировании степенных рядов можно представить интеграл  (1)  в виде числового ряда

.                                                                              (9)

Если ряд (9) сходится достаточно быстро, то можно приближенно вычислить определенный интеграл с помощью частичной суммы ряда

.                                                                                                   (10)

Для знакочередующегося ряда, с монотонно убывающими по абсолютной величине членами, абсолютная величина остатка ряда  не превосходит абсолютной величины первого из отбрасываемых членов ряда. Для оценки остатка ряда в других случаях применяют замену такими числовыми рядами, остатки которых легко оцениваются.

Пример 2. Вычислить интеграл  с точностью до  путем разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

Решение. Разложим функцию в степенной ряд

Этот ряд сходится при любом х. Проинтегрируем его почленно в пределах от  до :

Так как полученный числовой ряд является знакочередующимся, то достаточно выбрать такое число членов, чтобы первый из отброшенных