Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Точечная квадратичная аппроксимация

Задача 1в  Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Точечная квадратичная аппроксимация.

Постановка задачи. Данные об изменении нагрузки в одной точке в течение некоторого промежутка времени заданы в таблице:

Вывести эмпирическую формулу зависимости нагрузки от времени. Характер зависимости установить графически. Определить погрешность вычислений.

Решение: 1 По табличным данным зависимости строим корреляционное поле

2 Согласно построенному графику принимаем, что зависимость между H и t носит параболический характер. Исходя из этого, эмпирическую формулу зависимости нагрузки от времени можно представить в виде аппроксимирующего многочлена первой степени Q(t) = a₀ +a₁t+ a₂t², где a₀, a₁ , a₂  – коэффициенты уравнения, которые находим методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений:

где ;;;;;.

Составим таблицу:

Из таблицы: S₀ =10; S₁ =285; S₂ =8865; X₀ =73,1; X₁ =2235,3.

Подставляем эти значения в систему уравнений и решаем ее:

откуда a₀ =1,477589;   a₁ =0,204646.

Эмпирическая формула зависимости имеет вид

Q(t) =1,477589 + 0,204646t.

3 Строим график полученной функции Q(t) по двум точкам: Q(15) = 4,547279; Q(42) = 10,072721.

4 Для оценки погрешности вычислений найдём среднеквадратичное отклонение значения полинома Q(t) от заданного значения Н(t): .

Составляем таблицу:

S = 0,032969697 кН².

Вывод: Эмпирическая формула зависимости точечной нагрузки от времени имеет вид: Q(t) =1,477589 + 0,204646t. Среднеквадратичная погрешность вычисления значения нагрузки (Н, кН) по этой формуле от заданной системы точек Н(t) составляет 0,032969697 кН².