Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Точечная квадратичная аппроксимация

Страницы работы

Содержание работы

Задача 1в  Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Точечная квадратичная аппроксимация.

Постановка задачи. Данные об изменении нагрузки в одной точке в течение некоторого промежутка времени заданы в таблице:

t, ч

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

H, кН

4,5

5,2

5,8

6,3

7,0

7,7

8,3

8,8

9,5

10,0

Вывести эмпирическую формулу зависимости нагрузки от времени. Характер зависимости установить графически. Определить погрешность вычислений.

Решение: 1 По табличным данным зависимости строим корреляционное поле

2 Согласно построенному графику принимаем, что зависимость между H и t носит параболический характер. Исходя из этого, эмпирическую формулу зависимости нагрузки от времени можно представить в виде аппроксимирующего многочлена первой степени Q(t) = a+a1t+ a2t2, где a0, a1 , a2  – коэффициенты уравнения, которые находим методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений:

где ;;;;;.

Составим таблицу:

i

t0i

t1i

t2i

Н(ti)

Н(ti) t1i

0

1

15

255

4,5

67,5

1

1

18

324

5,2

93,6

2

1

21

441

5,8

121,8

3

1

24

576

6,3

151,2

4

1

27

729

7

189

5

1

30

900

7,7

231

6

1

33

1089

8,3

273,9

7

1

36

1296

8,8

316,8

8

1

39

1521

9,5

370,5

9

1

42

1764

10

420

Σ

10

285

8865

73,1

2235,3

Из таблицы: S=10; S=285; S=8865; X=73,1; X=2235,3.

Подставляем эти значения в систему уравнений и решаем ее:

                                     

откуда a0 =1,477589;   a1 =0,204646.

Эмпирическая формула зависимости имеет вид

Q(t) =1,477589 + 0,204646t.

3 Строим график полученной функции Q(t) по двум точкам: Q(15) = 4,547279; Q(42) = 10,072721.

4 Для оценки погрешности вычислений найдём среднеквадратичное отклонение значения полинома Q(t) от заданного значения Н(t): .

Составляем таблицу:

i

Ti

Н(ti)

Q(ti)

[Q(ti)  Н(ti)]2

0

15

4,5

4,547279

0,002235304

1

18

5,2

5,161217

0,001504121

2

21

5,8

5,775155

0,000617274

3

24

6,3

6,389093

0,007937563

4

27

7

7,003031

0,000009187

5

30

7,7

7,616969

0,006894147

6

33

8,3

8,230907

0,004773843

7

36

8,8

8,844845

0,002011074

8

39

9,5

9,458783

0,001698841

9

42

10

10,072721

0,005288344

45

15

4,5

4,547279

0,002235304

0,032969697

S = 0,032969697 кН2.

Вывод: Эмпирическая формула зависимости точечной нагрузки от времени имеет вид: Q(t) =1,477589 + 0,204646t. Среднеквадратичная погрешность вычисления значения нагрузки (Н, кН) по этой формуле от заданной системы точек Н(t) составляет 0,032969697 кН2.

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Математика
Тип:
Контрольные работы
Размер файла:
79 Kb
Скачали:
0