Определение значения производной заданной функции в точке (Геометрический смысл производной)

Контрольная работа по математике №4, 11 класс

Решения заданий части А

А1. По основному логарифмическому тождеству . В итоге исходное выражение примет вид: .                                                                            Ответ №2.

А2. 1) Упростим заданное уравнение: , тогда, по свойству логарифма:   .      2) =.                                  Ответ №1.

А3. Область определения . Упростим исходную функцию: . По свойству логарифмической функции:. Умножим все части неравенства на 2 и  прибавим по 9: , . Значит, .                                                                                                           Ответ №3. А4. Исходное уравнение является тождеством, следовательно, х  принимает любые значения из области допустимых значений. Находим ОДЗ:    . Графически решим неравенство  и получим, что  (см. рис.). Целые числа в этом промежутке : , всего 5 чисел.

Ответ №1.

А5. Используем формулы:  и . Тогда .                                                                     Ответ №1.

А6. Используем формулу: . Тогда

. При  получим .

Ответ №3.

А7. Чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой , нужно найти значение производной заданной функции в этой точке. (Геометрический смысл производной): , .

Ответ №4.

А8. Область определения заданной функции описывается системой неравенств:. Решаем первое неравенство:  . Решим это неравенство графически (см. рис. справа): .

Решим второе неравенство: Находим корни уравнения :   Следовательно,  (см. рис. слева). Общее решение системы: . Теперь, по условию, совмещаем этот промежуток с отрезком  (см. рис. внизу) и получаем искомые целые числа: . Их сумма равна 12.

                                                                     Ответ №2.

А9. Упростим: и произведем замену: , . Теперь нужно определить, какие значения принимает функция t. Графиком этой функции является парабола, ветви ее направлены вверх, а вершина находится в точке  (, ). Следовательно, . Возвращаемся к искомой функции , которая является монотонно убывающей. Если , то . Если , то . Значит, .

Ответ №3.

А10. Функция является монотонно убывающей, (так как ), следовательно, . Решим это неравенство: .                                                                                                                            Ответ №2.