Определение степени с дробным показателем. Область определения неравенства

Контрольная работа по математике №1, 11 класс (решения)

B1. . Число  составляет 100%, число 107 составляет , тогда , , .

Ответ:

B2. По определению степени с дробным показателем имеем

 =  =  = .

Ответ: 8.

B3. Сухая масса цемента на складе составляет 100% – 16% = 84% от 800кг. смеси, то есть 672кг. Во время перевозки влажность стала составлять 20 %, а сухая масса цемента составляет 80 % от привезенной смеси. Массу привезенной смеси возьмем через x, тогда кг.                                                                     Ответ: 840.

B4.=.                                                                      Ответ: .

B5. Перемножим первые две скобки по формуле разности квадратов,

 =  =

= = .         

Ответ: 1.

B6.==.

Ответ:

B7. Если система линейных уравнений не имеет решений, то. Решим пропорцию , получим . При этом а = –2 не удовлетворяет неравенству: .                                             Ответ: 3.

B8. Система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений, значит,. Решим , ; Равенство ; при верно.                                                                                            Ответ: 4.

B9. Квадратный трехчлен принимает только положительные значения, следовательно,

                                                                 Ответ: 13.

B10. Квадратное уравнение имеет два корня разных знаков, значит:

.                        Ответ: .

B11.  . Сложим уравнения системы, получим: , . Подставим найденные значения в первое уравнение, получим решения системы:                                              Ответ: 2.

B12.

 . Тогда

или, , .

Находим среднее арифметическое корней: .                           Ответ: 2.

B13. Уравнение имеет положительные корни, следовательно,

               Ответ: .

B14. Пусть , тогда . Исходное уравнение примет вид:, откуда . Тогда  (D< 0, нет решений)

или  (по т. Виета).               Ответ: 2,5.

B15. Сгруппируем 1 и 4, 2 и 3 скобки, перемножим их, получим:

. Введём новую переменную , тогда ;

,, , ,.

Ответ: -17; -3; .

B16. .  Критические точки функции .Промежутки монотонности функции [–3; –1] и [–1; 0]. Рассмотрим знаки функции на концах полученных отрезков.

 функция на промежутке [–3; –1] имеет один корень.

 заданная функция на промежутке [–1; 0] имеет один корень.

Значит, уравнение имеет на отрезке [–3; 0] два корня.                              Ответ: 2.

B17. , , .

, , сгруппируем слагаемые первое с третьим, второе с четвёртым и разложим на множители . Критические точки функции ,  принадлежит заданному отрезку

[0; 2]. Промежутки монотонности функции [0; 1] и [1; 2]. Находим знаки функции на концах отрезков:  на этом промежутке функция не имеет корней. Найдем знаки функции на концах следующего отрезка:

на отрезке [1; 2] функция имеет один корень.                                            Ответ: 1.

B18. . Решив неравенства, получим . Общее решение .

Ответ: 14.

B19. . D(f): . Возведем в квадрат обе части неравенства, получим после упрощения ,чтоверно для всех

.

Ответ: .

B20. Уравнение параболы в общем виде . По условию при . Подставим в уравнение, получим ,

.                                                  Ответ: .

B21.. Возводим в квадрат обе части уравнения . Откуда получим

 Снова возводим в квадрат обе части уравнения. После упрощения получим . Проверка подтверждает, что  – корень уравнения. Подставим найденное значение x в заданное выражение. Ответ: 54.

B22. , –

. После упрощения получим ,

x= 3 – решение неравенства. Последнее неравенство равносильно неравенству

. Далее решаем методом интервалов.

Ответ: 3.

B23. , .

Ответ: 48.

B24. =. Заметим, что показатели степеней являются суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, значит, ; . Окончательно получим

.                                                                                    Ответ: .

B25.  – члены геометрической прогрессии, а  – члены арифметической прогрессии. Используя характеристическое свойство той и другой прогрессии, запишем  . Отсюда  (не удовлетворяет условию). Следовательно, заданными числами будут: 2, 6 и 18. Сумма равна 26.                                                                                                 Ответ: 26.

C1. Область определения неравенства D(f):, . Исходное неравенство запишем в виде . Так как в области определения числитель положителен, то , . С учетом  получим решение неравенства .                                                                   Ответ: .

C2. По теореме Виета , . Следовательно,   

=. Чтобы уравнение  имело действительные различные корни, нужно, чтобы дискриминант , то есть , , , откуда . Функция  при  принимает значения на интервале .

Ответ: .

C3. Сумма двух арифметических корней не может равняться отрицательному числу, поэтому , . (I) Запишем данное уравнение в виде:

 или . (II) В силу (I) . Уравнение (II) принимает вид , откуда  , . Согласно (I)  не является корнем уравнения.                                                                                                      Ответ: 4,25.

C4. Правая часть неравенства должна быть неотрицательной, так как слева стоит сумма арифметических корней. Итак, , . (I) Неравенство принимает вид , , но  быть не может. Следовательно, ,

, , откуда . Учитывая (I), получим .                                    Ответ: .

C5. В точках пересечения графиков значения функций будут равны, то есть .(I) Введем новую переменную , где , так как  при , тогда , . Уравнение (I) принимает вид  или . (II) Возведем обе части уравнения (II) в квадрат  или , . Проверкой убеждаемся, что  – корень уравнения (II). Так как . Из уравнения  найдем абсциссы точек пересечения: ,  . Таким образом, координаты точек пересечения графиков будут:  и .

Ответ: , .