Определение счетного множества. Определение предела последовательности. Три определения непрерывной функции. Свойства определенного интеграла

ОТВЕТЫ: 1.  Определение счетного множества

Счетное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами( Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел)

2. Определение окрестности точки

Под окрестностью U_a точки а (а – действительное число) будем понимать любой интервал α<x<β, окружающий эту точку(α<a<β) из которого удалена точка а.

3. Определение точных верхней и нижней границы

Точная верхняя грань и точная нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Точной верхней гранью, или супре́мумом подмножества X упорядоченного множества M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается .

Более формально:

— множество верхних граней X, то есть элементов M, равных или больших всех элементов X

Точной нижней гранью, или и́нфимумом подмножества X упорядоченного множества M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается .

4. Определение предела последовательности.

Число а – есть предел последовательности x_n (n=1,2,…)

Lim_n→∞ x_n=a²

(т. к n – натуральное, то n→∞ и n→+∞ одно и то же)

Если для любого ε>0 существует такое число N, зависящее от ε, что для всех натуральных n>N выполнено неравенство

׀x_n – a׀<ε

5. Определение функции, ограниченной на множестве

Функция f(x) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М при хєХ

Если такого числа нет, то функция f(x) называется неограниченной

6. Два определения предела функции

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Если A – предел функции в точке a, то пишут, что

7.  Определение однородного предела

предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левостороонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (или пределом справа).

Пусть задана числовая функция   и — предельная точка области определения M.

Число называется правосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если

Число называется левосторонним пределом функции f при x стремящемся к a, если

8. Определение бесконечно малой функции

Функция а(х) называется бесконечно малой при х→а (а – вещественное число или символ ∞), если для любого ε<0 существует такая окрестность U_a  точки а, что ׀a(x)׀<ε при хєU_a, что эквивалентно следующему:

Lim

n→α(x)=0

т.е предел бесконечно малой α(х) равен нулю и обратно.

9. Определение для отношения двух бесконечно малых

Две бесконечно малых α(х) и β(х) при х→а имеют одинаковый порядок при х→а, если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, т.е

Lim   α(х)    =K≠0

х→а    β(х)

10.  Три определения непрерывной функции

1) Функция y=f(x) называется непрерывной при значении x=a (в точке х=а), если а) число а принадлежит к области ее задания б) предел lim f(x) существует и равен f(a)

х→а

2) Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

Lim  Δy=0

∆х→0

3) Функция y=f(x), непрерывная во всех точках множества Х, называется непрерывной на этом множестве.

4) Функция y=f(x)называется непрерывной в точке x0, если

∀ε>0   ∃𝛿 >0: ∀x׀x-x₀׀< 𝛿 ⇒׀f(x)-f(x_o)׀<ε

Так как x-x₀=Δx-приращение аргумента, а f(x)-f(x₀) =Δy-приращение функции в точке x₀, то функция y=f(x) непрерывна в точке х₀, если для ∀ε>0∃δ>0: ׀Δх׀<δ⇒׀∆у׀<ε т.е. Δу→0 при ∆х→0

11. Определение производной

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует

12. Определение дифференциала

Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

13.  Определение производной второго порядка

Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.

Если функция f’дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают f’’: f’’=(f’)’

14. Определение односторонней производной

Если f(x) определена при x≥x₀, то можно определить правую производную функции f(x)в точке x₀:   ∆f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀),∆x>0:

Аналогично, если f(x) определена при x≤x₀ , определяется левая производная функции в точке x₀:   ∆f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀),∆x<0

 Функция  f(x)имеет в точке x₀производную f’(x₀) тогда и только тогда, когда в точке x₀ совпадают ее левая и правая производные:.

15. Формула Лагранжа Если функция f(x) дифференцируема на интервале