Математика \ Математический анализ

Формула Тейлора для функций. Свойства неопределенного интеграла. Производная от интеграла с переменным верхним пределом

Страницы работы

1 страница (Word-файл)
Скачать файл

Фрагмент текста работы

четные функции, то достаточно рассмотреть случай 0<x</2. Из рис. 15 и определения функций cos x и sin x, сравнивая площади сектора OCD, треугольника  OAB и сектора OAB, найдем

Разделив эти неравенства на (1/2) x, получим требуемый результат.

Из выше полученного результата следует, что |sin x||x| x R.

Из 2) по теореме о предельном переходе в неравенствах вытекает, что lim x 0sin x = 0.

Теперь покажем, что limx 0(sin x)/x = 1.

Cчитая, что |x|</2, в силу полученного в 1) неравенства имеем 1-sin2x<sin x/x<1.

Но limx 0(1-sin 2x) = 1, значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, что limx 0(sin x)/x = 1.

ВТОРОЙ.  e = limx (1+1/x)x

Если в данной формуле положить y = 1/x, то получим вторую запись данной формулы.

limx  0(1+x)1/x = e.

7.Арифметические свойства непрерывных функций

8.Теорема об обращении в ноль

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0, то найдется по крайней мере одна точка С принадлежащая (a,b), в которой функция обращается в 0.

9.Теорема о промежуточных значениях

Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

10.Формула Лагранжа

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), то найдется такая точка с⋲(a;b),что http://www.internet-school.ru/@@102660

Воспользуемся геометрическим смыслом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедливости того, что существует касательная к графику f в точке с абсциссой с из интервала (а; b), параллельная секущей, проходящей через точки A (a; f (а)), В (b; f (b)). Рассмотрим прямую l, параллельную АВ и не имеющую общих точек с частью графика, соответствующей промежутку [а; b]. Будем перемещать эту прямую l по направлению к графику f так, чтобы она оставалась параллельной АВ. Зафиксируем положение l0 этой прямой в момент, когда у нее появятся общие точки с этой частью графика.

график функции Из рис.1 видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка касания прямой l0 с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда f’(c)=tg α, где α — угол между прямой l0 и осью абсцисс. Но l||АВ, поэтому угол α равен углу наклона секущей АВ, т. е. производная функции Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; b) найдется такая точка c∈ (а; b) (рис. 2), что

11.Правило Лопиталя

(Правило Лопиталя)   Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в некоторой окрестности Е точки  х0 и f(x0)=g(x0)=0 , то есть f(x)->0  и g(x)->0при x->x0. Предположим, что при  x принадлежит Е, x≠x0 функции f(x) и g(x) имеют  производные f’(x )и g’(x), причём существует предел отношения этих производных: $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$Тогда предел отношения самих функций f(x) и g(x) тоже существует и равен тому же числу L: $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

Доказательство. Заметим, что из условия$ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$следует, что оба одностороннихпредела также равны L: $\displaystyle \lim_{x\to x_0+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$и $\displaystyle \lim_{x\to x_0-}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$Пусть x1 принадлежит Е, x1>x0. По теореме Коши, применённой к отрезку [x0;x1] , получим тогда, с учётом того, что f(x0)=0 и g(x0)=0, $\displaystyle \dfrac{f(x_1)}{g(x_1)}=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{g(x_1)-g(x_0)}= \dfrac{f'(x^*)}{g'(x^*)},$

где $ x^*\in(x_0;x_1)$. Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при x1->x0+: $\displaystyle \lim_{x_1\to x_0+}\dfrac{f(x_1)}{g(x_1)}= \lim_{x^*\to x_0+}\dfrac{f'(x^*)}{g'(x^*)}=L,$

так как, очевидно, при  x1->x0+имеем также x*->x0+. Теперь возьмём точку $ {x_2\in E}$, $ {x_2<x_0}$и применим теорему Коши к отрезку $ [x_2;x_0]$. Получим $\displaystyle \dfrac{f(x_2)}{g(x_2)}=\dfrac{f(x_0)-f(x_2)}{g(x_0)-g(x_2)}= \dfrac{f'(x^{**})}{g'(x^{**})},$

где $ x^{**}\in(x_2;x_0)$. Переходя к пределу при x2->x0-, получаем

$\displaystyle \lim_{x_2\to x_0-}\dfrac{f(x_2)}{g(x_2)}= \lim_{x^{**}\to x_0-}\dfrac{f'(x^{**})}{g'(x^{**})}=L,$так как при x2->x0-имеем x**->x0-.

Итак, оба односторонних предела отношения f(x)/g(x)равны L. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

При доказательстве мы одновременно вывели правило Лопиталя и для односторонних пределов (то есть пределов при базах x->x0- и x->x0+): если f(x) и g(x) бесконечно малы при x->x0-и существует предел

Похожие материалы

Информация о работе

ВУЗ:
Новосибирский государственный университет (НГУ)
Предмет:
Математический анализ
Тип:
Конспекты лекций
Категория:
Математика (Естествознание)
Размер файла:
543 Kb
Скачали:
0
Скачать файл