Свойства неопределенного интеграла. Дифференциальное уравнение первого порядка. Арифметические свойства пределов бесконечно малых

10 Определение 1:

Функция f(x) определенная на множестве Х, называется непрерывной при х=х₁(или непрерывной в точке х₁), если: 1)функция определена при х=х₁ (т.е. х₁ Х) 2)приращение функции в точке х₁—>0, т.е.

Короче говоря, функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке БМ приращению аргумента соответствует БМ приращение функции.

Развернутое определение:

Функция f(x) непрерывна в точке х₁ тогда и только тогда, когда люб. ε>0 ₁)>0 такое, что:

|f(x)-f(х₁)|=|f(х₁ +  х₁| < , если x= х₁ + х₁ и 0<|х₁|< (х₁ – любое допустимое приращение)

Определение 2:

Функция f(x) называется непрерывной на данном множестве Х, если: 1) она определена на этом множестве (т.е. люб. х  Х сущ-ет f(x)) 2) непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. люб. х  Х справедливо равенство   = =0, где  X

Определение 3:

Функция f(x) называется непрерывной при х=х₁, если: 1) эта функция определена при х=х₁; 2)имеет место равенство = f(х₁), т.е. ф-я непрерывна в данной точке х₁ тогда и только тогда, когда предел ф-ии хх₁ = значению ф-ии в предельной точке.

9 - Две бесконечно малых L(это такая альфа)(х) и В(х) при х→a имеют одинаковый порядок при х→a , если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, т.е. lim х→a L(x)/B(x) = К не равно 0.

- При х→a порядок БМ В(х) выше порядка БМ L(х), если отношение В(х)/L(х) есть БМ функция при х→a, т.е. lim х→a B(x)/L(x) = 0

- БМ В(х) имеет порядок n относительно БМ L(х) при х→a, если lim х→a B(x)/L (в степени n)(x) = К не равно 0. Если же В(х) = 0 [L в степени n(x)] при х→a), то порядок В(х) выше по сравнению с L(х).

13 Св-ва неопределенного интеграла(НИ)

1.Дифференциал НИ = подынтегральному выражению, а производная НИ = подынтегральной ф-ии=f(x)dx и []=f(x) 2. НИ от дифференциала непрерывно дифференцируемой ф-ии = самой этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого. Пусть =, где  непрерывна, , поэтому = 

3.Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак НИ,т.е. если постоянная А≠0, то

Пусть F(x) - первообразная для f(x).из  => AC₁,где C₁ =АС, Си C₁ – произвольные постоянные при А≠0.но AF(x) – первообразная для Af(x),т.к.[AF(x]’=AF’(x)=Af(x), поэтому

4.НИ от алгебраической суммы конечного числа непрерывных ф-ий = такой же алгебр.сумме Неопр.инт. от этих ф-ий +- при xПусть F(x), G(x), H(x) перобразные f(x), g(x), h(x). => +-=[F(x)+C₁]+[G(x)+C₂]-[H(x)+C₃]=[F(x)+G(x)-H(x)]+C

24 Линейное уравнение имеет вид: а(х)×у/ + b(х)×y + c(x) = 0

где а(х), b(x), c(x) - заданные функции.

Если а(х) ¹ 0, то это уравнение можно записать в приведенном виде:

у/ + Р(х)×у = f(x

где    p(x)=b(x)/a(x) и f(x)=- c(x)/a(x),тогда f(x) - свободный член.

Пусть Р(х) и f(x) в (1.10) непрерывны на (a,b).

Будем искать решение в виде y = u×v,  где u - ненулевое решение соответствующего однородного уравнения u/ + P(x)×u = 0  a v - неизвестная функция. Тогда y/ = u/×v + v/×u

Подставим в (1.10) эти выражения. Получим u/×v + v/×u + P(x)×u×v = f(x и  v × (u/+P(x)× u) + u×v/  = f(x)

Учитывая, что имеет место (1.11), получим  u×v/ = f(x)Следует u подобрать так, чтобы коэффициент при v был равен нулю.

Из (1.11) и (1.14) находим u и v, подставляем в y = u×v, причем u есть конкретное решение,  отличное от нуля.

23 Дифференциальное  уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид

X(x)Y(y)dx + X1(x)Y1(y)dy =  0,                 где X,X1 - функции переменной х, а Y,Y1- функции переменной у.

Для решения разделим  его на g1(y)×f2(x), предполагая, что оно не обращается в нуль.    dx+dy

Проинтегрировав, получим     dy=C

Тогда - это общий интеграл уравнения

Тейлор   Пусть y=f(x) имеет непрерывную производную N-го порядка (fN(х)) (т.е. $ непрерывные производные на (a,b) f(x) = f(0)(x), f(1)(x),¼) в интервале (a,b) и х Î (a,b). Воспользуемся многочленом Тейлора P_n(x)=  f^k(x0)дробь… k! (x- x0) степени  n, n ≤ N.

Многочлен Рn(х) можно рассматривать как  приближение (аппроксимацию) данной функции. Обозначим через Rn(х) соответствующую ошибку (так называемый остаточный член), тогда будем иметь f(x) =  Рn(х) + Rn(х).

Покажем, что при х  х0 остаточный член Rn(х) будет бесконечно малой порядка выше n.=

Очевидно, что имеем неопределенность вида 0/0. Применяя правило Лопиталя последовательно n раз и учитывая непрерывность производной f⁽ⁿ⁾(x), находим  ==0

Следовательно, Rn(х)=о[(х-х0)n].

Таким образом, мы получим локальную формулу Тейлора: