Системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания

СМО с ограниченным временем ожидания

До сих пор мы рассматривали СМО с бесконечной очередью или с ожиданием, ограниченным длиной очереди (z<m).

На практике существуют СМО другого типа, где заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (нетерпеливая заявка).

Рассмотрим марковскую СМО такого типа – M/M/n, очередь бесконечна, но время пребывания заявки в очереди £ Т_оч со средним значением `t<sub>оч</sub>. Тогда на каждую заявку, стоящую в очереди, действует как бы поток “уходов” с интенсивностью n=1/`t_оч.  Если этот поток – пуассоновский, то процесс в СМО – марковский.

Найдем вероятности состояний для стационарного режима в предположении, что такой режим существует. Граф состояний имеет следующий вид:

l                         l               l          l              l              l         l       l

…                                         …                   …

m                   2m         3m        nm        nm+n                   nm+rn

По схеме гибели и размножения, если существует стационарный режим, то

====è обозначим b=n/m =è

=è,

Ряд в знаменателе сходится при любых положительных b и r. Значит, стационарный режим существует всегда.

Найдем характеристики эффективности такой СМО.

1.  Относительная пропускная способность Q: обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут, не дождавшись. Тогда А=l-n×`r, где`r – среднее число заявок в очереди. Тогда Q=A/l=1-(n/l)×`r.

2.  Среднее число занятых каналов`k=A/m=(l-n×`r)/m=r-b ×`r.

Видно, что при n®0 формулы превращаются в аналогичные с терпеливыми заявками.