Пример решения дифференциального уравнения

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

В качестве объекта управления рассмотрим электрическую печь сопротивления (рисунок 1). Выходная величина – температура печи, одинаковая во всех точках объема печи в установившемся состоянии θ_П, входная величина – сила электрического тока i, протекающего по электронагревателю с сопротивлением R. Подводимая электрическая энергия к электронагревателю расходуется на изменение температуры печи и с тепловыми потерями через кладку в окружающую среду.

Рисунок 1 - Электрическая печь сопротивления

Согласно закону сохранения энергии получим уравнение динамики печи:

i²R dt=C dθ_П+α S (θ_П-θ_В) dt, или i²R=C (dθ_П/dt)+ α S (θ_П-θ_В),           (1)

где С – теплоемкость кладки и складки печи, Дж/К;

θ_П и θ_В – соответственно температуры печи и окружающей среды (воздуха), К;

S – площадь наружной поверхности кладки печи, м²;

α – коэффициент теплопередачи от атмосферы печи к окружающей среде, Вт/(м²К);

Полученное уравнение является нелинейным, так как входная величина-ток i имеет в уравнении вторую степень.

Установившийся в печи режим характеризуется значениями величин:

i = ;          θ_П=θ_П0;          θ_B= const.

Уравнение печи при этом режиме имеет вид:

R=α S (θ_П0-θ_В)                                                        (2)

Разложив левую часть уравнения печи для динамического режима в ряд Тейлора в окрестности точки i = ;θ_П=θ_П0 и оставив в этом разложении члены с ∆i = i - в первой степени, получим уравнение вида:

R+2R∆i =C (dθ_П/dt)+ α S(θ_П-θ_В)                                         (3)

Вычитая из последнего выражения уравнение печи для установившегося режима (2), получаем линейное дифференциальное уравнение:

2R∆i =C (dθ_П/dt)+ α S (θ_П- θ_П0)                                             (4)

Введем в качестве новой выходной величины отклонение температуры печи от установившейся ∆θ_П=θ_П - θ_П0 и, учитывая, что θ_П0= const, получим линеаризованное уравнение объекта в отклонениях:

(C/(α S))(d(∆θ_П)/dt))+∆θ_П=(2R/(α S))∆i                                   (5)

Полученное уравнение можно записать в безразмерном виде. Для этого достаточно заменить абсолютные значения отклонений входной и выходной величин относительными:          y = ∆θ_П/θ_П0;           u = ∆i/.

Разделив обе части дифференциального уравнения (5) на θ_П0 , получим дифференциальное уравнение в безразмерной нормализованной форме:

(C/(α S)) (dy(t)/dt)) + y(t)=(2R/(α S θ_П0)) u(t)                                   (6)

Введем обозначения: T=C/(α S), - постоянная времени, с;

k=2i₀²R/(α S θ_П0) – коэффициент передачи (безразмерный).

С учетом введенных обозначений уравнение динамики объекта – электрической печи имеет вид:

T (dy(t)/dt) + y(t)=k u(t).                                                   (7)

Удобной формой записи дифференциальных уравнений является так называемая операторная форма, когда операция дифференцирования заменяется символом s. Тогда y(s)= W(s) u(s), где W(s) = k/(Ts+1) – оператор динамической системы.

1. Решим дифференциальное уравнение (7) при условии, что
u(t) = u₀ 1(t), y(0) = 0 и t ≥ 0. После подстановки u(t) в уравнение (7) получим (u₀=const):

.

Отсутствие дельта функции в правой части свидетельствует о том, что при t = 0 величина y(t) не может измениться скачком, и следовательно, y(+0)=y(0)=0.

Характеристическое уравнение системы Ts + 1 = 0 имеет один корень , и потому переходная составляющая решения определяется формулой

.

Установившуюся составляющую следует искать в форме правой части, то есть в виде постоянной величины . Подставив это значение в исходное уравнение , получим (производная от константы равна нулю): .

Таким образом, общее решение уравнения определяется формулой

.

Для определения постоянной С₁ следует подставить в последнее выражение t = 0 и y(0) = 0: , откуда . Окончательно имеем следующее выражение для искомой реакции системы:

.                                             (8)

2. Решим дифференциальное уравнение (7) при условии, что u(t) = δ(t), y(0) = 0 и t ≥ 0. После подстановки  u(t) в уравнение (7) получим:

.

Если вместо этого уравнения рассматривать уравнение, в правой части которого отсутствует дельта-функция

, то в качестве нового начального значения должно быть взято значение y(+0) в момент (t = +0), непосредственно следующий за посылкой воздействия. Это возможно так как, дельта функция существует лишь бесконечно-короткий промежуток времени при t = 0, и ее влияние на выход может проявиться лишь в мгновенном изменении в этот момент начальных значений выходной величины и ее производных.

Для вычисления y(+0) проинтегрируем обе части исходного уравнения в пределах ± ε:

,

то есть    .

Устремив ε к нулю (осуществим предельный переход, то есть ε → 0), получим:

, так как y(0) = 0 получим

.

Рассматриваемое дифференциальное уравнение имеет общим решением

.

После подстановки в него t = 0 и  найдем .

Следовательно

.                                               (9)

Уравнение (8) называется переходной характеристикой объекта (при условии, что u₀ = 1 и t ≥ 0), а уравнение (9) весовой характеристикой. Тогда можно записать , .

Если учитывать запаздывание объекта τо, то при t ≥ τо        .