Фазовое пространство, функции распределения и их интегралы. Учет столкновений

3.2.  Кинетический подход.

В случае использования гидродинамического подхода считается, что все частицы, находящиеся в данном элементарном объеме имеют одну и ту же скорость. Поскольку на самом деле в плазме происходит хаотическое движение множества частиц, имеющих различные скорости, то следует иметь в виду недостаточность гидродинамического подхода. Существует много явлений, которых этот подход не описывает. Дальнейшей детализацией описания процессов в плазме является статистический подход, реализуемый в рамках физической кинетики плазмы.

3.3.1. Фазовое пространство, функции распределения и их интегралы.

Основной статистической характеристикой ансамбля частиц в физической кинетике является функция распределения частиц в фазовом пространстве.

Фазовое пространство– шестимерное конфигурационное пространство, координатами в котором служат три координаты обычного пространства: X,Y,Z и три соответствующие скорости :V_x,V_y,V_z, . Элемент объема такого пространства:

                                     (3.3.1)

Г- фазовый объем некоторой области такого пространства.

Функция распределения есть плотность частиц в фазовом пространстве.

                                     (3.3.2)

Число частиц в элементе фазового объема определится, как:

                                                                  (3.3.3)

Наблюдаемые на опыте явления представляются как результат суммарного действия большого числа частиц. Поэтому наблюдаемые параметры обычно представляются интегралами от функций распределения :

Плотность частиц

                                                       (3.3.4)

Полное число частиц в системе

                                                               (3.3.5)

Локальная плотность потока частиц.

                                                               (3.3.6)

Энергосодержание в единицы объема — давление

                                                       (3.3.7)

Плотность потока энергии.

                                                       (3.3.8)

3.3.2.  Кинетическое уравнение без столкновений

Кинетическое уравнение это уравнение, описывающее поведение ансамбля частиц в фазовом пространстве. При отсутствии столкновений оно представляет собой аналог уравнения непрерывности в фазовом пространстве. Для его написания можно воспользоваться этой аналогией. Действительно, если функция распределения f в фазовом пространстве является аналогом распределения плотности частиц n в обычном пространстве        

(x, y, z,t)                                                         ( , t)

то можно продолжить цепочку аналогий:

Последнее уравнение в правом столбце преобразуется

                     (3.3.9)

Если r, v — независимые переменные и  не зависит от скорости (силы не диссипативные ), то    

                                                   (3.3.10)

Выписанное выше уравнение и является бесстолкновительным кинетическим уравнением.

3.3.3.Самосогласованное поле и уравнение Власова.

Самое простое, что можно сделать для описания взаимодействия между частицами, это вычислить силу  по средним значениям функции распределения. При этом находится распределение частиц , создающих силовое поле , поддерживающее это распределение.

                         (3.3.11)

Это уравнение называется уравнением Власова. Значения напряженностей электрического и магнитного полей вычисляются с использованием системы уравнений Максвелла, в которую вставляются значения плотностей зарядов и токов, полученные с использованием функций распределения частиц:

                              (3.3.12)

3.3.5.  Учет столкновений.

Кинетическое уравнение Больцмана

Запишем полученное выше уравнение в тензорных обозначениях, добавив в правую часть дополнительный член, учитывающий быстро флуктуирующие  поля и силы, возникающие при сильном сближении частиц :

                                  (3.3.13)

Это кинетическое уравнение Больцмана. Конкретный вид столкновительного члена может быть различным для разных видов столкновений. Для неупругих столкновений он не всегда вообще может быть записан в явном виде. Частицы сорта а, для которых записано уравнение (таких уравнений должно быть записано столько, сколько разных сортов частиц имеется в плазме), могут сталкиваться друг с другом и с частицами других сортов. Поэтому, вообще говоря.

                                                              (3.3.14)

С_ав дает изменения в единицу времени в результате столкновений с частицами сорта в.