Фазовое пространство, функции распределения и их интегралы. Учет столкновений, страница 2

Некоторые свойства столкновительного члена можно указать, не зная его явного вида. Если не учитывать процессы, превращающие частицы из одного сорта в другой, то:

                                                (3.3.15)

Действительно, первый из интегралов, умноженный на , дает изменения числа частиц сорта а в элементе объема ,, в результате столкновения с частицами в. Но при упругих столкновения такого изменения нет.

Два других интеграла дают изменения соответственного импульса, и энергии частиц сорта а , из-за столкновений между собой . Но так как при упругих столкновениях импульс и энергия сохраняются, то они так же =0.

Аналогично можно записать суммарные законы сохранения импульса и энергии для частиц сорта а и в

                                           (3.3.16)

Уравнения для макроскопических параметров, называемые уравнениями переноса, можно получить из кинетического уравнения. Просто, интегрируя его по скоростям  с учетом (*), получим уравнение непрерывности. Если перед интегрированием помножить на  или на  , то получим соответственно уравнения переноса импульса и энергии.

Интеграл столкновений.

Наиболее простой вид интеграла столкновений может быть задан формулой:

                                                                      (3.3.17)

Рассмотрение кинетического уравнения с интегралом столкновений вида (3.3.17) называется t -приближением кинетической теории. Такой подход  является полуфеноменологическим подходом к исследованию кинетических процессов: выражение (3.3.17) постулирует установление равновесной функции распределения ( к которой стремится любая ) с помощью столкновений за характерное время, порядка t. Приближение позволяет в ряде случаев получать удовлетворительные результаты. Например , использовав t- приближение кинетического уравнения для электронов, можно получить формулу электропроводности. Рассмотрим постоянный ток в однородной плазме. Кинетическое уравнение в этом случае будет иметь вид:

                                                     (3.3.18)

Пусть слабо отличается от , где -малая добавка, что может быть справедливым при достаточно малом электрическом поле. Тогда:

                                                        (3.3.19)

т.к  произведением двух малых сомножителей  можно пренебречь. Из (3.3.18) следует:

         (3.3.20)

Уточним смысл требования слабого электрического поля:  означает в соответствии с выражением (3.3.18) и с учетом того, что

        или                                                  (3.3.21)

Это  означает, что энергия, приобретаемая электроном в электрическом поле на длине свободного пробега должна быть существенно меньше тепловой.

Как будет показано далее, особенностью кулоновских столкновений является относительно большой вклад далеких пролетов, приводящий к большому числу отклонений рассеиваемых частиц на малые углы. Это особенность дает возможность записать столкновительный интеграл в диффузионном приближении, с учетом рассеивания частиц лишь на очень малые углы . Такая форма интеграла столкновительный была предложена Л.Д. Ландау . Основная идея Ландау заключается в том ,что поток частиц в пространстве скоростей представляется в виде двух членов , первый из которых обусловлен силой динамического трения

                                                             (3.3.22)

, а второй – диффузионным блужданием частиц. Для одномерного случая:

                                              (3.3.23)

Он должен обратиться в нуль при: функции распределения совпадающей с максвелловской

                                                    (3.3.24)

Подставляя (3.3.24) в (3.3.23) и требуя обращения последнего в нуль, получаем.

                                               (2.3.25)

И столкновительный интеграл примет следующий вид:

                                   (3.3.26)

Полученный результат обобщается на трехмерный случай с учетом того, что тензор коэффициентов диффузии.

                                                        (3.3.27)

При этом:

                            (3.3.28)

Тогда достаточно в интеграле столкновений оставить только чисто диффузионный член со второй производной. Это хорошо описывает сильно не равновесную ситуацию, когда в плазме под действием каких либо внешних причин возникает в какой то области пространства скоростей сильный градиент. Вид интеграла столкновительного в таком случае следующий:

                                                  (3.3.29)

это также дает полуфеноменологическое, модельное описание установления  максвелловского распределения .