Колебания. Уравнение свободных колебаний. Гармонический осциллятор. Энергия гармонического осциллятора

Лекция 7. КОЛЕБАНИЯ. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. ЭНЕРГИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА.

Колебательным называется процесс, при котором какая-либо величина последовательно отклоняется то в одну, то в другую сторону от некоторого своего среднего значения.

Механической колебательной системой называется совокупность тел, в которой могут происходить колебательные процессы. Такая система имеет положение устойчивого равновесия!

                                                                     например

 

                               пружинный маятник -                         математический маятник -

                                    модель колебательной системы                            идеал. система, состоящая из матер. точки 

состоящей из пружины жесткостью k                 массой m, подвешенной на невесомой 

                                    и тела массой m                                                       нерастяж нити, колеб. под действие силы                                                                                                                                                                 

                                                                                                                           тяжести.                

	ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК- твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс.

 

Свободными (собственными)  называются колебания, возникшие в колебательной системе после однократного выведения ее из положения равновесия и происходящие только под действием внутренних сил, при отсутствии сил сопротивления движению.

Колебания горизонтального пружинного маятника.

Задача: описать движение тела под действием упругой и квазиупругой силы (т. е. модуль силы пропорционален смещению).

а) динамическая модель:  по II з. Ньютона   , обозначим      (1)

  (2) диф. уравнение движения решение:   (3)

 

Колебания физического маятника.               Задача: описать колебания АТТ под действием

 или, считая , то, решение .

Приведенная длина

Гармоническими называются колебания, совершаемые под действием упругой (квазиупругой) силы, при которых какая-либо величина изменяется с течением времени по закону косинуса или синуса  ,(4).

Смещением  х_t или у_t называется любое отклонение физической величины от ее значения в  положении равновесия.

Амплитудой А называется максимальное смещение.

Фазой колебания называется аргумент синуса или косинуса .

Циклическая или круговая частота:  

-  начальная фаза колебания  -  характеризует смещение в момент начала отсчета времени.

Периодом Т называется промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание.

Частота колебаний – величина, обратная периоду   

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая гармонические колебания.

б) кинематическая модель:  при движении материальной точки по окружности с постоянной по модулю скоростью проекция радиуса-вектора точки на ось 0х:, где амплитуда равна модулю радиуса-вектора точки А=.   

 

х - проекция  радиуса-вектора  на ось 0х.                                

Проекции:   мгновенной скорости:   (5),   

                     мгновенного ускорения:      (6).

в) энергия колебаний:    кинетическая          

                                                          потенциальная .             

                                                                                                                            

                                                                                                                                            

Полная энергия колебаний     (7) - пропорциональна амплитуде А².

При отсутствии внешних сил  или когда сумма проекций внешних сил на направление колебаний , выполняется закон сохранения механической энергии гармонического осциллятора (пружинного маятника):

,

Для собственных колебаний пружинного маятника (из этого закона) циклическая

 частота  , период собственных колебаний  

Графическое представление колебаний.

СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ

- наиболее просто осуществляется методом векторных диаграмм. В этом случае рассматривается кинематическая модель колебаний - зависимость от времени проекции радиуса-вектора (вектора амплитуды) точки, вращающегося с постоянной угловой скоростью.

сложение колебаний одной частоты, происходящих                                                                                                вдоль одного направления  

                                                                         (одна степень свободы).

 (8) - амплитуда результирующего колебания.   

    (9) – начальная фаза результирующего колебания.

2) сложение колебаний одной частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях (две степени свободы)

а) при одинаковых частотах и фазах колебаний   сложение колебаний вдоль оси  0х  и вдоль оси 0у  дает результирующее колебание, при котором в любой момент , т.е. результирующее колебание происходит, например,  вдоль прямой СС₁  по закону:

 - линейно поляризованное колебание, где - тангенс угла наклона СС₁  к оси 0х.

Если ,  то    -  это также линейно поляризованное колебание вдоль прямой, тангенс угла наклона которой к оси 0х равен

б) при   и разности фаз  слагаемые  колебания  и   и результирующее колебание называется эллиптически поляризованным т.к. , (Аналогично в случае разности фаз колебаний ).

 

в) при иной разности фаз колебаний, траекторией точки также будет эллипс, но его оси не будут параллельными осям 0х и 0у.

г) если частоты слагаемых колебаний различны, то результирующее движение точки, в общем случае, очень  сложное и непериодическое.

Но если частоты слагаемых колебаний  и  относятся друг к другу как целые числа, то результирующее движение точки повторяется через равные отрезки времени, содержащие по целому, хотя и неодинаковому числу периодов как одного, так и другого слагаемых колебаний.

Фигурами Лиссажу называются неизменные во времени траектории движения точки, образующиеся при целочисленных отношениях частот  и  слагаемых взаимно перпендикулярных  колебаний.

На рисунках фигуры Лиссажу при , ,.

 

Рис. 9