Комплексные числа и действия над ними. Уравнение прямой в пространстве. Арифметика пределов. Определённый интеграл и его свойства

1.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Комплексным числом называется выражение вида а+bi, где а,b – вещественные числа, i –некоторый символ. Обычно но необязательно обозначается последними буквами латинского алфавита. Z=a+bi.

Действия над ними устанавливаются с помощью нескольких аксиом.

1)z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i  называются равными, если а₁=а₁, b₁=b₂.

2) суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z вида

z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i

3) произведением комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число

z₁*z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i

4) a+0i=a

i²=-1

a=ReZ вещественная часть числа Z

b=ImZ мнимая часть числа Z

Z=ReZ+i*ImZ

Деление комплексных чисел.

Z₁/Z₂=(a₁+ib₁)(a₂-ib₂)/(a₂+ib₂)(a₂-ib₂)=(a₁a₂+b₁b₂)+i(b₁a₂-a₁b₂)\a₂²+b₂²=(a₁a₂+b₁b₂/a₂²+b₂²)+i*(b₁a₂-a₁b₂/a₂²+b₂²)

2)ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Z=a+bi=IZI*(cosφ+i*sinφ), IZI- длина вектора, IZI=, φ=arg Z.

Всякому не нулевому cplx будем ставить в соответствие угол. Аргументом cplx будем считать угол между положительным направлением оси  ReZ и вектором Z, отсчитываемый против часовой стрелки.

ФОРМУЛА МУАВРА

Zⁿ=IZIⁿ*(cosnφ+i*sinφ)

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера  и тождества для экспонент ,где b — целое число. Также можно доказать путем математической индукции.

(cos x + i sin x)^1 = cos 1x + i sin 1x

(cos x + i sin x)^(n+1)=(cos x + i sin x)^n*(cos x + i sin x)=(cos nx + i sin nx)(cos x + i sin x) =

= (cos nx cos x - sin nx sin x) + i (cos nx sin x + sin nx cos x) = cos (n+1)x + sin (n+1)x

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

ⁿ√Z=ⁿ√IzI*(cos (φ+2πk)/n +i *sin (φ+2πk)/n) k∈(1;2;3…a-1)

Пусть

Применяя формулу Муавра, получаем

и на основании правила равенства комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, получаем:

 т.е. модуль корня n-й степени из комплексного числа равен (арифметическому) корню n-й степени из модуля этого числа.

ν=(φ+2πk)/n

МЕТОД ГАУССА

4)5)6)Метод Гаусса основан на преобразовании системы к наиболее простому виду с помощью элементарных преобразований. “Делай так и только так” 1.Проверяем равен ли нулю коэффициент при х₁(а₁₁). Если да, то меняем местами первое уравнение с ближайшим у которого коэффициент при х₁ не равен 0. Пусть теперь а₁₁=0. Переписываем первое уравнение системы(1) без изменений а₁₁х₁+а₁₂х₂+...а_1nх_n=b₁. С помощью первого уравнения делаем коэффициент при х₁ во всех остальных уравнениях равным 0. Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на , к 3-ему – 1-ое, умноженное на и т.д. Получаем систему(2): а₁₁х₁+а₁₂х₂+...а_1nх_n=b₁

₂₂x₂+…+_2nx_n=₂

………………………….

_m2x₂+…+_mnx_n=_m

2.Переписываем 1-ое у-ие системы без изменений, получаем систему (3):

а₁₁х₁+а₁₂х₂+...а_1nх_n=b₁

₂₂x₂+…+_2nx_n=₂

₃₃x₃+…+_3nx_n=₃

………………………….

_m3x₃+…+_mnx_n=_m

Проверяем, равно ли 0 ₂₂. Если равно 0, то меняем 2-ую строчку с ближайшей, у которой коэффициент при х₂ не равен 0. Пусть теперь ₂₂ не равно 0. Переписываем 2-ую строчку. С помощью 2-ой строчки делаем коэффициент при х₂ во всех нижестоящих у-ях равным 0. Для этого к этим у-ям прибавляем 2-ое, умноженное на − . Получаем систему(3). Выполняем эту операцию несколько раз до тех пор, пока система (1) не примет вид(4) :

а₁₁х₁+а₁₂х₂+...а_1nх_n=b₁

₂₂x₂+…+_2nx_n=₂

…………………………….

_rsx_s+_rs+1x_s+1+…_rnx_n=_r

0=_r+1

0=_r+2

…………

0=_m

Если хотя бы одно из _r+1....m не равно 0, то система (4) и эквивалентная ей система (1) несовместны.

Если система(4) имеет вид(5):

а₁₁х₁+а₁₂х₂+...а_1nх_n=b₁

₂₂x₂+…+_2nx_n=₂

…………………………….

_n-1,n-1x_n-1+_n-1,nx_n=_n-1

_nnx_n=_n

………………….

0=0

0=0

Пусть система(4) преобразуется в систему(5), то это значит, что система(5), а значит и система(1), имеет единственное решение. Именно из последнего ур-ия находим, что x_n=. Из предпоследнего у-ия находим, что х_n-1=(_n-1-_n), и так далее получаем все значения х. Возможна такая ситуация, что система(1) приводиться к виду(6): а₁₁х₁+а₁₂х₂+...а_1nх_n=b₁

₂₂x₂+…+_2nx_n=₂

…………………………….

_ssx_s+_s,s+1x_s+1+…_s,nx_n=_s

0=0

….

0=0

Пусть x_n=c_n, x_n-1=c_n-1 и т.д  и x_s+1=c_s+1 , где с_n….c_s+1- произвольные постоянные величины. Тогда получаем, что

X_s=(_s-_s,s+1c_s+1…-_s,nc_n) и т.д до х₁, система(6) и система(1) имеет бесконечно много решений т.е неопределенная система.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ И ЕГО СВОЙСТВА.

Определителем матрицы называется сумма произведений всех элементов j-столбца на их алгебраические дополнения.

Алгебраический дополнением элемента а_ij называется выражение равное (-1)^i+j * А_ij, где А_ij – определитель, полученный вычеркиванием i-строки