Случайные величины. Определение и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Многомерные случайные величины

Глава 2. Случайные величины

2.1. Определение и примеры случайных величин

Рассмотрим вероятностное пространство ().

Однозначная числовая функция, заданная на пространстве элементарных исходов, называется случайной величиной.

Обозначения: , …

Таким образом, , .

В соответствии с определением, случайная величина каждому элементарному исходу из пространства , в зависимости от случая, ставит в соответствие одно определенное числовое значение.

Значения функции  будем называть возможными значениями случайной величины .

Приведем несколько примеров случайных величин.

Пример 2.1. Эксперимент – подбрасывание игральной кости.

Пространство элементарных исходов: , где  – на грани игральной кости выпало  очков, .

Пусть  – число очков, выпавших на грани игральной кости.

Возможные значения : 1, 2, ..., 6.

Пример 2.2. Эксперимент – последовательность из  независимых испытаний в схеме Бернулли.

Пространство элементарных исходов:

, где   .

Пусть  – число появлений события А в этих испытаниях.

Возможные значения : 0, 1, ..., .

Пример 2.3. Эксперимент – регистрация вызовов в течение часа на АТС.

Пространство элементарных исходов – .

Пусть  – число вызовов, поступивших на АТС в течение часа.

Возможные значения : 0, 1, ...

Пример 2.4. Эксперимент – бросание случайной точки в квадрат со стороной 1.

Пространство элементарных исходов:

, где  декартовы координаты точки на плоскости.

Пусть  – расстояние от начала координат до точки .

Возможные значения : .

Если пространство элементарных исходов, на котором задается случайная величина, конечное (примеры 2.1 – 2.2) или счётное (пример 2.3), то эта случайная величина называется дискретной (принимает отдельные изолированные значения).

Если пространство элементарных исходов бесконечное, несчётное и связное (пример 2.4), то случайная величина называется непрерывной (имеет несчетное множество значений).

2.2. Закон распределения дискретной случайной величины

Пусть пространство элементарных исходов  - конечное или счётное множество. Во втором случае будем считать, что n равно бесконечности.

Наибольший интерес представляют вероятности, с которыми случайная величина принимает каждое из своих возможных значений.

Обозначим через  событие, которое заключается в том, что m принимает своё i-е значение, . Появление события  означает, что в результате эксперимента имел место элементарный исход , поэтому

.

Множество пар чисел  называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения обычно представляется в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой из которых записываются возможные значения случайной величины, а во второй – вероятности, с которыми эти возможные значения принимаются

При этом  так как по определению  и

( – несовместные события).

2.2.1. Основные дискретные распределения

Равномерное распределение на множестве

Возможные значения: .

Биномиальное распределение

В последовательности из n независимых испытаний схемы Бернулли,  – число появлений события А в этих испытаниях.

Возможные значения : ;

.

.

Распределение Пуассона

Рассмотрим последовательность независимых испытаний при , случайная величина  – число появлений события  в этих испытаниях.

Возможные значения: 0, 1, 2, …;  .

.

Здесь использовано известное разложение показательной функции в ряд Маклорена

.

Геометрическое распределение

Рассмотрим последовательность независимых испытаний. Случайная величина  – число испытаний, проведённых до первого появления события А.

Возможные значения: 1, 2, 3, …;

.

.

Гипергеометрическое распределение

Имеется  объектов произвольной природы. Среди них  объектов обладают некоторым свойством . Наудачу отбираются  объектов. Случайная величина  – число объектов среди отобранных, обладающих свойством .

Возможные значения: , где , ; при этом .

2.3. Функция распределения случайной величины

Функция , равная вероятности того, что случайная величина  примет значение меньшее , называется функцией распределения этой случайной величины , т. е.

.                                            (2.1)

Геометрически, функция распределения – это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое расположено на числовой оси левее точки .

Пусть  дискретная случайная величина, заданная законом распределения.

Построим функцию распределения этой случайной величины.

Для удобства предположим, что , тогда

1) Если , то .

2) Если , то .

3) Если , то

.

4) Если рассматривается k-й промежуток , то

.

5) Если , то .

График функции распределения дискретной случайной величины (2.1) имеет вид (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Для любой дискретной случайной величины функция распределения есть кусочно-постоянная функция.

Случайная величина  называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна.

Основные свойства функции распределения:

1⁰. Функция распределения ограничена , так как функция распределения – это вероятность появления некоторого случайного события