Нелинейные системы второго порядка

ЗАНЯТИЕ 2.Нелинейные системы второго порядка.

Рассмотреть нелинейные системы 2-го порядка, содержащие объект управления:

,  x₁(0)=x₁₀                                                                                          (1)

,  x₂(0)=x₂₀                                                                                           (2)

и регулятор

u = f₂(x₁, x₂)                                                                                                                         (3)

где

f₂(x₁, x₂)=- k₁ x₁ - k₂ x₂                                                                                  (4)

(линейная система),

f₂(x₁, x₂)= - sin (k₁ x₁ + k₂ x₂)                                                                   (5)

(гладкая нелинейная система)

f₂(x₁, x₂)= - sign (k₁ x₁ + k₂ x₂)                                                                (6)

(релейная система)

f₂(x₁, x₂)= - dez (k₁ x₁ + k₂ x₂)                                                                  (7)

(релейная система c зоной нечувствительности, d=0.2)

f₂(x₁, x₂)= - hys (k₁ x₁ + k₂ x₂)                                                                 (8)

(релейная система c с гистерезисом,d=0.2), k₁, k₂ - коэффициенты обратных связей.

            Линейные и гладкие нелинейные системы

1. По заданным значениям корней характеристического полинома линейной системы а)  р₁=-1, p₂=-3,

б)  p₁=-1+j,  p₂= -1-j

в)  p₁=j,  p₂= -j

найти коэффициенты обратных связей k₁, k₂. Построить  фазовые портреты линейных систем (1)-(4) в области

x₁, x₂ Î[-2,2]                                                                      (9)

2. Для выбранных в п.1 значений коэффициентов k1, k2 (варианты а, б, в) построить фазовые портреты системы с нелинейностью (5) в области (9)

Релейные системы

3. Найти уравнения фазовых траекторий объекта управления (1), (2) при постоянных значениях управления

u=1, -1, 0.

Построить фазовые портреты в диапазоне (10).

4. Построить фазовые траектории системы

(а) с релейным регулятором (6),

(б) со звеном с зоной нечувствительности (7)

при

k1=1, k2=0.2

и начальных значениях 

x₁₀=[0.5, 2],x₂₀=0

5. Используя метод припасовывания и результаты п.3 построить фазовые траектории а) системы со звеном зоной нечувствительности (7)

б) системы со звеном с гистерезисом (8)

6. Для систем с нелинейными регуляторами (4) - (8) найти положения равновесия и характерные линии фазовой плоскости (инвариантные множества, аттракторы, линии переключения).  В нескольких (5-10-ти) точках (x₁, x₂) фазовой плоскости построить векторы f(x₁,x₂)=(x₂,u), соответствующие векторным полям исследуемых систем систем.