Основное дифференциальное уравнение гидростатики

Основное дифференциальное уравнение гидростатики

Рассмотрим внутри покоящейся жидкости параллелепипед с ребрами (рис. 2.3), расположенными параллельно координатным осям О_x, O_y, O_z и равными соответственно dx, dy, dz. Принимая  во внимание, что уравнения моментов не имеют смысла, рассмотрим уравнение равновесия сил в проекциях на координатные оси.

å Х = 0;  å Y = 0;  å Z = 0.                                       (2.12)

Для оси О_х имеем

dP - dP₁ + dFcosa = 0,                                         (2.13)

где  dP = pdydz  и dP₁ = p^¢dydz;

P₁ и P^¢  - средние гидростатические давления соответственно на площадки АВСДА и А^¢В^¢С^¢Д^¢А^¢.

Принимая во внимание, что гидростатическое давление является функцией координат, среднее гидростатическое давление на площадке А^¢В^¢С^¢Д^¢А^¢ будет равно

p^¢ = .                                     (2.14)

Тогда, силу dP₁ можно определить, как

.                                        (2.15)

Объемная сила для массы dm, заключенной в объеме параллелепипеда, определится как

dF = dmjcosa = dmX = rdxdydzX.                    (2.16)

Подставляя значения слагаемых, получаем:

pdydz- + rXdxdydz = 0.                   (2.17)

Проводя преобразования (раскрывая скобки и сокращая на dxdydz ) получаем

.                                         (2.18)

Аналогично получаются и уравнения проекций сил на оси  Oy и Ox.

Тогда, систему уравнений описывающих условия равновесия жидкости (уравнение Эйлера) можно записать в виде

.                                      (2.19)

Запишем уравнение Эйлера в виде

.                                     (2.20)

Умножая каждое из записанных уравнений на dx,dy и dz соответственно, и проводя сложение правых и левых частей уравнений, получим

.        (2.21)

Принимая во внимание, что левая часть записанного уравнения представляет собой полный дифференциал dp функции  p = p(x, y, z), имеем

dp = r (Xdx + Ydy + Zdz).                              (2.22)

Данное уравнение называется основным дифференциальным уравнением гидростатики.

Логично предположить, что правая часть уравнения представляет также полный дифференциал некоторой функции

Xdx + Ydy +Zdz = dU.                                 (2.23)

Следовательно, X = ¶U/¶x;   Y = ¶U/¶y;   Z = ¶U/¶z.

Величины x, y, z представляют собой проекции ускорения объемной силы, которые можно рассматривать как проекций самой объемной силы, отнесенной к единице массы данной жидкости.

;                                (2.24)

;                                           (2.25)

.                                           (2.26)

Функция U (x, y, z) является потенциалом сил или так называемой “силовой функцией”.

Таким образом, равновесие жидкости возможно, если объемные силы имеют потенциал.

Для поверхностей уровня наблюдается равенство давлений во всех точках - p = const и dp = 0.

Тогда, основное уравнение гидродинамики запишется в виде

Xdx + Ydy + Zdz = 0.                                    (2.27)

Основные свойства поверхностей уровня:

1. Две поверхности уровня не пересекаются между собой.

2. Внешние объемные силы направлены нормально к поверхности уровня.