Переходные процессы. Основные понятия. Законы коммутации

Лекция 1

Переходные процессы

Основные понятия. Законы коммутации

В предыдущих лекциях рассматривались методы расчета линейных эл. цепей в установившемся режиме, т.е. при таком режиме, когда токи и напряжения либо не изменялись во времени, либо представляли собой периодические функции (цепи синусоидального тока).

Переходным процессом в электрической  цепи называют состояние электрической  цепи при изменение   режима её работы.

Коммутацией называют режим переключения элементов эл. цепи.

При коммутации, переход от одного состояния электрической  цепи к другому не происходит мгновенно, а растягивается во времени. Это объясняется тем, что каждому состоянию  электрической  цепи, содержащей индуктивности и емкости соответствует определённый запас энергии магнитных и электрических полей (катушек и конденсаторов). Переход к новому режиму работы электрической  цепи связан с изменением этой энергии, которая не может измениться скачком (мгновенно).

[Мощности: PL= dWL/dt,  PC = dWC/dt    где: WL= Li2/2,  WC= CUc2/2  - энергия маг-го, электрического полей]. При t = 0 PL , PC  равны бесконечности, чего в природе не существует.

Применяя специальные схемы и подбирая соответствующие параметры цепи, можно ускорять или замедлять переходный процесс. В одних случаях переходные процессы нежелательны и опасны (например, в энергетических системах); в других случаях эти процессы являются рабочими режимами (например, радиотехнические устройства).

Существуют различные методы расчета переходных процессов и все они, наряду с использованием основных законов электротехники основаны на двух законах коммутации, которые основаны на рассуждении о невозможности мгновенного изменения энергии магнитного и электрического полей.

Первый закон коммутации.

В начальный момент времени после коммутации ток в индуктивности остаётся таким  же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

Другими словами: При коммутации, ток в индуктивности не может  измениться скачком.

Второй закон коммутации

В начальный момент времени после коммутации напряжение на ёмкости остаётся   таким  же, каким оно было непосредственно перед коммутацией, а затем плавно  изменяется.

Другими словами: При коммутации, напряжение на ёмкости не может   измениться скачком.

При этом следует отметить, что в цепях идеализированными, сосредоточенными параметрами скачком могут изменяться:

1. Токи в резисторах и конденсаторах,

2.  Напряжения в резисторах и индуктивностях.

Математические основы анализа переходных процессов

После коммутации для мгновенных значений по второму закону Кирхгофа получим уравнение:         uR + uL + uC = u    или относительно тока интегро-дифференциальное  уравнение

Общее решение этого  неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами   складывается из общего решения однородного уравнения, правая часть которого равна нулю, и частного решения того же уравнения с правой частью.  

В цепи, не содержащей внешних источников энергии, переходный режим будем называть свободным. В этом случае напряжения и токи будем считать свободными, и обозначать с индексами "св".

Получим уравнение для свободного режима:

Общее решение  однородного дифференциального уравнения n-го порядка, например,   для тока имеет вид:

где:  А1, А2, ... Аn - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

p1, p2,.. pn   - корни характеристического уравнения, соответствующие данному   дифференциальному уравнению.

В цепи,  содержащей внешние источники энергии, переходный режим будем называть принуждённым. В этом случае напряжения и токи будем считать принужденными, и обозначать с индексами "пр".

Для нашего случая уравнение принуждённого режима имеет вид:

Решение  этого однородного дифференциального уравнения является стандартное решение для установившегося режима работы цепи.

Тогда реальный ток переходного процесса определится:

Таким  образом, реальный ток переходного процесса или падение напряжения на каком - либо элементе цепи определится путём наложения двух режимов свободного и принуждённого.

Для искомой схемы (рис.1) изобразим схемы свободного и принуждённого режимов:

Два вида задач при расчёте переходного процесса

1. Задача с нулевыми начальными условиями:  

2. Задача с ненулевыми   начальными условиями: