Решение систем уравнений методом Ньютона (sin(y+0.5)-x=1 и y+cos(x-2)=0)

Санкт-Петербургский государственный университет

Решение систем уравнений методом Ньютона

Выполнил: Слупко Егор Алексеевич

Группа: 316

Вариант: 15

10.09.2007Содержание

Постановка задачи

1.  Локализовать решение системы уравнений

sin(y+0.5)-x=1

y+cos(x-2)=0

2.  Реализовать метод Ньютона для систем уравнений на языке С++ и с его помощью получить решение этой системы с точностью до 0.0001.

Решение задачи

Локализация корня

Локализацию корня проведем графически. Построим кривые, соответствующие уравнениям системы:

Система имеет одно решение. Примем за начальное приближение X⁰=(0,0.8)^T.

Код программы

#include <iostream>

#include <math.h>

class vect

{

private:

double x1,x2;

public:

double GetX1() {return x1;}

double GetX2(){return x2;}\

void SetV(double a, double b) {x1=a; x2=b;}

};

struct Matr

{

double x11,x12,x21,x22;

};

vect Razn(vect a, vect b)

{

vect c;

c.SetV(a.GetX1()-b.GetX1(), a.GetX2()-b.GetX2());

return c;

}

vect Mult(Matr A, vect b)

{

vect c;

c.SetV(A.x11*b.GetX1()+A.x12*b.GetX2(),A.x21*b.GetX1()+A.x22*b.GetX2());

return c;

}

double abs(vect a)

{

return sqrt(a.GetX1()*a.GetX1()+a.GetX2()*a.GetX2());

}

int main()

{

double x,y;

std::cout<<"Введите начальные х и у:\n x = ";

std::cin>>x;

std::cout<<" y = ";

std::cin>>y;

double eps=1,E;

std::cout<<"Введите степень точности:\n Е = ";

std::cin>>E;

vect F, X;

X.SetV(x,y);

int i =1;

for(; eps>E; i++)

{

F.SetV(sin(X.GetX2()+0.5)-X.GetX1()-1,X.GetX2()+cos(X.GetX1()-2));

vect FF;

Matr dF;

double less = -1 + cos(X.GetX2()+0.5) * sin(X.GetX1()-2);

dF.x11 = 1/less;

dF.x12 = -cos(X.GetX2()+0.5)/less;

dF.x21 = sin(X.GetX1()-2)/less;

dF.x22 = -1/less;

FF = Mult(dF,F);

vect R = X;

X = Razn(X,FF);

eps = abs(Razn(X,R));

}

std::cout<<"Результаты:\n х=("<<X.GetX1()<<";"<<X.GetX2()<<")\n";

std::cout<<"Количество итераций "<<i<<std::endl;

return 0;

}

Система уравнений задана в коде программы статично. Значения начального приближения и степени точности вводятся по запросу программы, что дает возможность провести серию тестов, показывающих зависимость числа итераций от степени точности и начального приближения.

Тестирование проводилось в операционной системе Linux Gentoo при помощи компилятора gcc-4.1.2.Результат работы программы

По завершении работы программа выводит следующие результаты:

Введите начальные х и у:

x = 0

y = 0.8

Введите степень точности:

Е = 0.0001

Результаты:

х=(-0.138685;0.537853)

Количество итераций 5

Установим зависимость числа итераций от велечины начального приближения и степени точности:

Из таблицы видно, что наибольшее изменение числа итераций дает отдаление начального приближения от корня по оси OY, в то время как изменение степени точностив 1000 раз не меняет число итераций вовсе. Очевидно, это вызвано довольно спокойным поведением функции в окрестности корня.