Интерполирование функций. Построение интерполяционного полинома Лагранжа для функции f(x)=x2-2-4sin(x)

Практикум по численным методам

Отчет

Интерполирование функций

студентка:

Кирушева И.В., 319гр.

преподаватель:

Остов Ю.Я.

Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007

1. Постановка задачи:

Для функции  выполнить следующее:

1. Выбрать из области определения данной функции интервал непрерывности.
2. Назначить некоторое число равностоящих узлов и построить интерполяционный полином Лагранжа.
3. Проделать то же самое, взяв то же количество узлов, но определяемых по формуле

4. Повторить пункты 2 и 3, увеличив число узлов.

2 Решение задачи

2.1 Выбор интервала непрерывности

Построим график функции :

В качестве интервала непрерывности выберем [-1, 1] В дальнейшем данную функцию будем рассматривать только на этом отрезке.

2.2 Код программы

Алгоритм построения интерполяционного полинома Лагранжа реализован на языке программирования встроенном в систему Maple. Код программы:

В начале программы задаются исходные данные алгоритма, далее строится полином Лагранжа. В итоге получаем графики интерполяционных функций для обоих способов выбора

> Digits:=5:

> f:=x->x^2-2-4*sin(x);

>

n := 3;

>

a:=-1; b:=1;

> X11 = array(1..n):

>

for i from 1 to n do

  X11[i]:= ((b-a)/(n-1))*(i-1)+a;

end do;

> w:=proc(x, X)

  r:=1:

  for i from 1 to n do

    r:=r*(x-X[i]):

  end do:

end proc:

> l:=proc(i,x, X)

  w(x, X)/((x-X[i])*eval(diff(w(t, X), t), t=X[i]))  

end proc:

> P11:=0;

>

for k from 1 to n do

  P11:=P11+l(k, x, X11)*f(X11[k]):

end do:

>

simplify(P11);

> X21 = array(1..n):

>

for i from 1 to n do

  X21[i]:= 0.5*((a-b)*cos((2*(i-1)+1)*Pi/(2*n))+(a+b));

end do;

> P21:=0;

> for k from 1 to n do

  P21:=P21+l(k, x, X21)*f(X21[k]):

end do:

>

simplify(P21);

>

n:=7:

> X12 = array(1..n):

>

for i from 1 to n do

  X12[i]:= ((b-a)/(n-1))*(i-1)+a;

end do;

> P12:=0;

> for k from 1 to n do

  P12:=P12+l(k, x, X12)*f(X12[k]):

end do:

>

simplify(P12);

> X22 = array(1..n):

>

for i from 1 to n do

  X22[i]:= 0.5*((a-b)*cos((2*(i-1)+1)*Pi/(2*n))+(a+b));

end do;

> P22:=0;

> for k from 1 to n do

  P22:=P22+l(k, x, X22)*f(X22[k]):

end do:

>

simplify(P22);

3 Результаты работы программы:

На графиках черной линией будем обозначать график исходной функции, а синей и красной - графики интерполяционных функций (узлы задаются двумя разными способами)

Рассмотрим случай с 3 узлами интерполяционной сетки:

А теперь с 7 узлами:

Из графиков функций видно, что во втором случае достигается более точное  приближение к исходной функции.

Список литературы:

1. А.П.Иванов Методические указания Тема 5: Интерполирование функций.