Оптимальное управление для заданного объекта по заданному критерию методом подбора с помощью анализа влияния управляющего воздействия и его коэффициентов на переходные процессы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра Автоматики

Индивидуальное задание № 2 по курсу

«Системы автоматической оптимизации»

Факультет: АВТ  

Группа: ААМ–11

Студент: Кутузова И.В.                    Преподаватель:    Французова Г.А. 

Вариант №11

Новосибирск

2011

Задание

Рассчитать оптимальное управление для объекта, математическая модель которого имеет вид:

Известны ограничение на управляющее воздействия, , начальная  и конечная точки . Заданы требования к качеству процесса в виде критерия оптимальности  и длительности процесса .

Численные значения параметров представлены в таблице 1.

Таблица 1. Исходные данные.

0	1	-3	0	0	1	1	2	1	0		1

Расчет

Математическая модель объекта:

Для расчёта оптимального регулятора воспользуемся принципом максимума Понтрягина. Запишем расширенный вектор состояния:

Вектор правых частей:

Вектор сопряжённых координат:

Гамильтониан:

Из условия максимума гамильтониана определяем оптимальное управление как функцию сопряжённых координат:

Сформируем систему дифференциальных уравнений для нахождения сопряжённых координат:

В результате оптимальное управление принимает вид:

.

Коэффициенты b_i определим, решая краевую задачу. С этой целью запишем уравнение замкнутой системы

Определим решение для переменных состояния в виде

 (1)

Поскольку зависимость x₁(t) неизвестна, невозможно найти решение системы уравнений.

Моделирование системы

Решим задачу методом подбора.

Найдем зависимость переходных процессов х1(t) и х2(t) от b₁ и b₂.

1.  Подбираем k таким, чтобы x₂(T)=0.

2.  Подбираем Aтаким, чтобы x₁(T)=1.

В результате получили.  

Модель системы представлена на рис.1.

Рис.1. Модель системы

Результаты моделирования, представленные на рис.2,3 иллюстрируют, что конечные значения переменных состояния соответствуют заданным (x₁(T)=1, x₂(T)=0 при T=1).

Рис.6. Переходный процесс x₁(T)               Рис.7. Переходный процесс x₂(T)

Вывод

Для решения задачи поиска оптимального управления нельзя применить метод динамического программирования, поскольку время перехода в заданное состояние ограничено(T=1). Решить задачу с помощью принципа максимума Понтрягина тоже нельзя, так как в сформированной системе уравнений (1) неизвестна функция x₁(t).

Оптимальное управление для заданного объекта по заданному критерию было найдено методом подбора с помощью анализа влияния управляющего воздействия и его коэффициентов на переходные процессы x₁(T) и x₂(T). Оптимальное управление имеет вид  .