Синтез одноканальных систем. Компенсатор и предкомпенсатор, уравнение в псевдосостояниях, собственные значения, желаемая область, u-устойчивость, робастная асимптотическая достижимость, страница 4

Шаг 1. Выбираем характеристический полином системы  такой, чтобы:

i)   - это требование следует из 3) S135;

ii)   – корни должны принадлежать заданной области;

iii)   - объяснение будет дано в S137.

Шаг 2. Выбираем  такой, чтобы:

i)   - это обеспечивает правильность передаточной функции q (см. 1) из S135),

ii)   - это очевидно, если посмотреть на характеристическое уравнение.

Берем, наконец,

, .                                     (а)

S137.  Прокомментируем данную процедуру.

1.  Данная процедура не гарантирует взаимной простоты  и . Не гарантируется взаимная простота для  и .

2.  Выбор  и  по формуле (а) из S136 и по ii) из S136 в шаге 2 эквивалентен решению уравнения

,                                                      (а)

где даны  и . Обозначим решение уравнения

                                                          (б)

через . Решение существует, так как  и  - взаимно простые. Известно, что любое решение уравнения (а) имеет вид

, , где  - произвольное. Найдем частное решение (а). Для этого умножим (б) на :

.                                                     (в)

Если возьмем  и , то из полученного тождества (в) ясно, что  есть частное решение (а). Найдем теперь общее решение однородного уравнения . Если возьмем , , то это и будет общим решением: . Далее остается лишь взять сумму общего и частного решений.

3.  Правильность  вследствие 1) из S130 равносильно правильности q. Но, как следует из первой формулы в 1) S135, . Следовательно, правильность f  равносильна требованию

                                                        ,                                                     (г)

что соответствует ii) на шаге 2. Необходимое и достаточное условие для правильности  рассмотрено.

4.  Вернемся к характеристическому уравнению . Из него следует, что

.

По этому соотношению находим порядок .

5.  Дадим пояснения по iii) 1 шага из S136. Нас интересует наименьшая степень  в (а) из S137. Рассмотрим (в) из S137. Разделим  на : . Отметим, что  - остаток, m – частное. Отсюда имеем

.                                                      (д)

Применим iii) из S136:  или . Ввиду (д) имеем , т.е. выполнено (г). Пришли к выводу, что iii) на шаге 1 в S136 есть достаточное условие выполнения (г). Другими словами, это достаточное условие существования правильного компенсатора f в цепи обратной связи, описываемого уравнениями, данными на шаге 2 в S136, и правильного компенсатора в прямой цепи.

6.  При выборе порядка полинома  можно воспользоваться формулой ii) из шага 2: . В круглых скобках определены два полинома  и . Мы должны выбрать полином  такой, чтобы  было кратным . Обозначим коэффициенты  через . Пусть  и пусть все полюса объекта  будут различными. Так как корни  должны быть корнями , верно равенство:

, .

Получили систему из m линейных уравнений с  неизвестными. Эти уравнения несложно решать, так как  (вспомним, что  - взаимно простые). Решение существует, если . При синтезе минимального регулятора берут .

$38.  Задан объект . В данном случае , . Введением компенсатора получим . В данном случае  . Из iii) шага 1 находим , берем . В соответствии с i) шага 2: . Выберем , т.е. . Определим коэффициенты :

.

Из условия делимости находим . Осталось найти полином :

.