Синтез одноканальных систем. Компенсатор и предкомпенсатор, уравнение в псевдосостояниях, собственные значения, желаемая область, u-устойчивость, робастная асимптотическая достижимость, страница 3

S129.   и-устойчива .

$34.  Найти передаточные функции (рисунок S124):

; .

У к а з а н и е:

,                                              (а)

так как

;

,                                           (б)

.

S130.  Пусть  и q определено в $34. Тогда:

1)  , ;

2)  если дополнительно возьмем  , тогда:

, .

Здесь также можем вместо  взять .

Докажем в 1) “Ü”. Так как р строго правильное и f правильное, то  – правильное (если  правильное, то  правильное, если  правильное, то  правильное).

Обратное утверждение доказывается аналогично. Из (а) $34 можно найти, что f правильное.

Докажем в 2) “Ü”. Из правильности  следует, что  – правильное. Но из (б) $34 следует . Следовательно,  - правильное.

Докажем в 2) “Þ”. Так как р строго правильное, f правильное, то  правильное. Следовательно,  - правильное. Но

Оба выражения в скобках правильные, следовательно, p правильное.

S131.  Пусть система  и-устойчивая и  определена в (б) $34. Тогда

  ,

.

S132.  Введем понятие класса сигналов Y:

  

где  - заданный нормированный полином, m - произвольный полином. На  наложены условия:

,

Система  называется робастно асимптотически достижимой при обработке сигналов из класса Y (achieves robust asymptotic tracking over the class Y), если и только если:

1)  система  и-устойчива;

2)  при любом  ошибка обработки  стремится к нулю при ;

3)  условие 2) имеет место для любого возмущенного объекта  где:

i)    и  взаимно простые,

ii) 

iii)  система  экспоненциально устойчива (т.е.  где ).

$35.  Рассмотрим ошибку отслеживания . Найти изображение .

П о д с к а з к а. Следует воспользоваться рисунком из S124, формулой (б) из $34, определением  как элемента из класса сигналов Y и вспомнить определение  S128. Последовательность вычислений выглядит так:

S133.  Рассмотрим систему , удовлетворяющую условию 1) из S132. Сигнал  возьмем из класса Y с условием 2) из S132. Тогда условие робастной асимптотической достижимости при обработке сигналов из класса Y равносильно выполнению следующих условий:

1)  ;

2)  ;

3)  .

$36.  Попробуйте решить следующую сложную задачу:

(а), (б) S133.

П о д с к а з к а. Можно рассуждать от противного. Пусть y имеет общий корень с . Тогда ввиду того, что y делит , характеристический полином  содержит этот же корень . Но корни y принадлежат и. Получили, что y имеет корень из и. Это противоречит 1) из S113.

S134.  Исследуем задачу синтеза такого компенсатора, чтобы получить предписанное  и обеспечить робастную асимптотическую достижимость при обработке сигналов из класса Y.

Пусть задана область “неустойчивости”  и задана передаточная функция объекта

такая, что числитель можно разбить на две части:

, .

Передаточная функция  сохранит неустойчивые нули объекта

.                                                      (а)

Здесь  – взаимно простые полиномы. Кроме того, ввиду S131 справедливо .

S135.  Здесь для удобства последующего изложения соберем ряд сведений, приведенных ранее:

1)  из ($34, а, б):

, ;

2)  из правильности q следует правильность  (см. 2) из S130);

3)  из (а) в S134 и из второго уравнения в 1) следует, что:

.

$37.  Докажите 3) из S134 и второе уравнение из 1) в S135.

S136.  Рассмотрим решение задачи синтеза S134. Результатом решения будут передаточные функции f и p, удовлетворяющие условию правильности. Характеристический полином системы  будет u-устойчивым.