Переходные процессы в трехфазной цепи (Отчет составлен на белорусском языке)

 Мiнiстэрства адукацыi  Рэспублiкi Беларусь

 Беларуская дзяржаўная полiтэхнiчная акадэмiя

 Кафедра электрычных станцый

Дысцыплiна "Матэматычныя задачы энергетыкi"

ЛАБАРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 8

ПЕРАХОДНЫ ПРАЦЭС У ТРОХФАЗНЫМ

ЛАНЦУГУ

Аўтар Бобка М.М.

23 красавiка 1998 г.

Мiнск - 1998

ЛАБАРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 8

ПЕРАХОДНЫ ПРАЦЭС У ТРОХФАЗНЫМ ЛАНЦУГУ

1. Мэта работы:

Вывучэнне методыкi фармавання i лiкавай рэалiзацыi матэматычнай мадэлi пераходнага рэжыму ў прасцейшай трохфазнай схеме.

2. Тэарэтычныя звесткi

Матэматычнае мадэляванне любой фiзiчнай з'явы складаецца з некалькiх этапаў: а) выбар аб'екта i тых з'яў у гэтым аб'екце, якiя падлягаюць мадэляванню; б) фармаванне матэматычнай мадэлi на аснове алгебраiчных, дыферэнцыяльных, iнтэгральных цi другiх раўнанняў i iншых функцыянальных залежнасцяў; в) рэалiзацыя (рашэнне) пабудаванай мадэлi лiкавым, аналiтычным або аналагавым метадам; г) аналiз атрыманых рашэнняў i параўнанне iх з эксперыментальнымi дадзенымi; д) карэкцыя матэматычнай мадэлi пры незадавальняючых рэзультатах i паўтарэнне рашэння. Разгледзiм працэс матэматычнага мадэлявання пераходнага рэжыму ў прасцейшай трохфазнай схеме на мал.1, якi ўзнiкае пасля ўключэння выключальнiка Q.

2.1. Выбар аб'екта мадэлявання

Аб'ектам мадэлявання з'яўляецца схема трохфазнага ланцуга, у якую ўваходзяць: а) трохфазная крынiца з электрарухаючымi сiламi (ЭРС) е_A, е_B, е_C; б) лiнiя электраперадачы з актыўнымi супрацiўленнямi фаз R_A, R_B, R_C, фазнымi iндуктыўнасцямi L_A, L_B, L_C i мiжфазнымi ўзаемаiндуктыўнасцямi M_AB, M_BC, M_CA; в) нагрузка з актыўнымi супрацiўленнямi R_нA, R_нA, R_нA i iндуктыўнасцямi L_нA,L_нB ,L_нC. Выключальнiк Q стварае ў канцы лiнii электраперадачы штучнае трохфазнае кароткае замыканне (КЗ). У вынiку даследавання неабходна атрымаць характар змянення токаў лiнii i нагрузкi пасля замыкання кантактаў выключальнiка Q. Лiнiя i нагрузка з'яўляюцца сiметрычнымi. Кантакты выключальнiка замыкаюцца адначасова.

2.2. Фармаванне матэматычнай мадэлi

Як вядома [1], матэматычная мадэль пераходнага працэсу ў

         е_А    R_кA  L_A                           i_A                i_нA     R_нА    L_нА

 

          е_В   R_кB    L_B       М_АВ    М_САi_B      i_нB    R_нB    L_нB

 

е_С   R_кC    L_C       М_ВС              i_C                 i_нС    R_нC   L_нC

 

e_A=Ö2Esin(wt+a_A)                                            Q

e_B=Ö2Esin(wt+a_A-120°)

e_C=Ö2Esin(wt+a_A-240°)

Мал.1. Схема замяшчэння трохфазнага ланцуга.

                                 j

                                                                w

Е_C            I_нC

E_A

    a_А          1

                                     j_н      I_нA

I_нB

E_B

Мал.2. Вектарная дыяграма токаў i электрарухаючых сiлаў для моманту t=0.

ў электрычным ланцугу прадстаўляецца ў выглядзе сiстэмы звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў. Пасля замыкання кантактаў выключальнiка Q, якi стварае трохфазнае КЗ, схема распадаецца на дзве незалежныя часткi. Раўнаннi па другому закону Кiрхгофа для пераходнага працэсу ў фазе А маюць выгляд:

е_A=i_AR_кA+L_Adi_A/dt-M_ABdi_B/dt-M_BCdi_C/dt;

0=i_нAR_нA+L_нAdi_A/dt.                                                   (1)

Для спрашчэння матэматычнай мадэлi даследаванне пераходнага рэжыму дастаткова выканаць для адной фазы. Для гэтага выключым з сiстэмы (1) токi i_B i i_C. У сiметрычнай лiнii (праваднiкi размешчаны ў вяршынях роўнастаронняга трохвугольнiка) параметры фаз аднолькавыя, таму можна прыняць:

М_AB=M_BC=M_CA=M;   L_A=L_B=L_C=L;   R_кA=R_кB=R_кC=R_к.      (2)

Акрамя гэтага, для трохфазнай сiстэмы без нулявога праваднiка

i_A+i_B+i_C=0,   або   i_A=-(i_B+i_C).                                               (3)

Улiчваючы (2) i (3), сiстэму раўнанняў (1) можна запiсаць для фазы А:

е_A=i_AR_к+L_кdi_A/dt;

0=i_нAR_н+L_нdi_нA/dt,                                                      (4)

дзе L_к=L-M.

Прывядзем сiстэму (4) да нармальнага выгляду:

di_A/dt=(e_A-i_AR_к)/L_к;

di_нA/dt=-(R_н/L_н)i_нA.                                                    (5)

Сiстэма (5) - гэта сiстэма звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў другога парадку для невядомых функцый i_А(t) i i_нA(t). Раўнаннi для фаз В i С будуць выглядаць аналагiчна, аднак iх iнтэграванне неабходна выконваць пры другiх пачатковых умовах. Вызначым пачатковыя ўмовы для сiстэмы (5). Пачаткам пераходнага рэжыму будзем лiчыць момант замыкання кантактаў выключальнiка Q, што будзе адпавядаць нулявому значэнню незалежнай пераменнай t сiстэмы (5) Пачатковымi ўмовамi для раўнанняў сiстэмы (5) з'яўляюцца iмгненныя значэннi токаў i_А(0) i i_нА(0) у момант t=0, якiя роўны праекцыям вектараў I_А i I_нА на ўяўную вось j камплекснай плоскасцi ў момант t=0 (мал.2). Перад замыканнем кантактаў выключальнiка Q iмгненныя значэннi токаў i_А i i_нА былi роўныя, таму у адпаведнасцi з законамi камутацыi яны застануцца такiмi ж непасрэдна пасля камутацыi:

            i_А(0)=i_нА(0)=е_А(0)/Z=Ö2Еsin(a_A-j_н)/Z,        (6)

дзе:     Z=Ö(R_к+R_н)²+w²(L_к+L_н)² - поўнае супрацiўленне нагрузкi адной        фазы;