Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (Лабораторная работа № 2), страница 2

,

или после выполнения арифметических операций:

                                                      (11)

Теперь применим описанный выше алгоритм для исключения неизвестной переменной х2 из третьего и четвертого уравнений системы (11), после чего она примет вид:

,

или:

.                                                           (12)

Исключим неизвестную величину х3 из четвертого уравнения системы (12):

,

или:

Из последнего уравнения можно определить х4=9,0777/2,2694=4,0. На этом прямой ход метода Гаусса закончен. Квадратная матрица коэффициентов преобразована в верхнюю треугольную. Система имеет вид:

.

Теперь можно произвести обратный ход метода Гаусса и определить неизвестные величины:

Таким образом, имеем решение в виде:

2.2.2.   Схема Жардана

Эта схема является модификацией метода Гаусса и заключается в том, что исключение каждой неизвестной величины исполняется не только для тех уравнений, которые находятся ниже текущего уравнения  в системе, а для всех уравнений системы. В результате этого матрица А коэффициентов при неизвестных превращается в единичную матрицу, а на места правых частей находятся неизвестные величины Х. Схема Жардана имеет только прямой ход.

Пример 2. Решить СЛАУ по схеме Жардана:

                                          (13)

Исключаем неизвестную величину х1 из второго и третьего уравнений системы (13). Делим первое уравнение на коэффициент а11=2. Умножаем это уравнение на а21=1,2 и отнимаем его от второго уравнения, а также умножаем его на а31=1,4 и отнимаем от третьего уравнения:

 , или:

Неизвестная переменная х1 из второго и третьего уравнения исключена. К этому моменту различий от метода Гаусса нет. Исключим теперь неизвестную х2 из первого и третьего уравнений. Для этого разделим второе уравнение на коэффициент . Умножим это уравнение на коэффициент    и отнимем его от первого уравнения. Умножим его также на коэффициент  и отнимем от третьего уравнения:

, или:

Аналогично исключаем переменную х3 из первого и второго уравнений:

, или:

что и является решением системы (1).

2.2.3.   Обращение квадратной матрицы методам Гаусса

Для не особенной матрицы существует основное утверждение:

                                                                                                                      (14)

где:     A^-1 - матрица, обратная матрицы A;

E – единичная матрица.

Рассмотрим алгоритм обращения  для матрицы A третьего порядка:

Перемножая матрицы A и A^-1, будем иметь n систем уравнений относительно n×n неизвестных элементов х_ij матрицы A^-1;

;                                                                                          (15)

;                                                                                           (16)

 .                                                                                            (17)

Неизвестными величинами в системах (15), (16), (17) являются столбцы матрицы A^-1. Системы(15)-(17) имеют одну и ту же матрицу коэффициентов A, но разные правые части, поэтому их можно решать как одну систему с несколькими правыми частями.

Пример. Используя метод Гаусса, найти матрицу, обратную матрицы А:

.

Составляем расширенную матрицу [AE], которая состоит из двух блоков (из матриц A и E):

Применяем к расширенной матрице одноходовой алгоритм Гаусса (схему Жардана). После исключения неизвестных x1j (j=1, 2, 3) из второго и третьего уравнений систем (15)-(17) расширенная матрица будет иметь вид:

.

После исключения неизвестных x2j (j=1, 2, 3) из первого и третьего, а затем х3j (j=1, 2, 3) из первого и второго уравнений систем (15)-(17) расширенная матрица будет иметь вид:

[AE]=  .

На месте матрицы A мы получили единичную матрицу третьего порядка, а на места единичной матрицы E - матрицу А^-1, обратную матрице A. Таким образом, обратная матрица имеет вид:

A^-1=

Для проверки правильности подставим матрицу A^-1 в формулу (14) и сделаем перемножение матриц.

2.3.      Итерационные (приближенные) методы решения СЛАУ

2.3.1.   Метод простой итерации