Метод преобразования многолучевой звезды в полный многоугольник (Лабораторная работа № 4)

 Министерство Образования Республики Беларусь

Белорусский Национальный Технический Университет

 Кафедра электрических станций

Дисциплина "Математические задачи энергетики"

ЛАБАРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 4

МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЛУЧЕВОЙ ЗВЕЗДЫ

В ПОЛНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Автор  Бобко М.М.

Минск 2010

ЛАБАРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЛУЧЕВОЙ ЗВЕЗДЫ В ПОЛНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Цель работы: Изучение алгоритма и программы расчета установленного режима схемы методом преобразования многолучевой звезды в полный многоугольник.

2. Теоретические сведения

Многолучевой звездой называют часть электрической схемы, включающей узел и все ветви, присоединенные к этому узлу. N-лучевая звезда опирается на n других узлов схемы. После преобразования n-лучевой звезды возникает полный n-угольник, который содержит n узлов, на которые опиралась многолучевая звезда, и все возможные ветви, которые можно включить между этими узлами. Количество ветвей полного многоугольника может быть рассчитано по формуле сочетаний из n по два:

C=n!/(2!(n-2)!). Например, полный треугольник имеет три ветви, четырехугольник - шесть, пятиугольник - десять и т.д. Если перед удалением узла с многолучевой звездой между двумя узлами схемы, на которые опирается многолучевая звезда, существует ветвь схемы, то после преобразования звезды параметры этой ветви (проводимость, ток источника тока) меняются, они получают приросты за счет новообразованной ветви многоугольника. Если перед удалением узла между теми двумя узлами, на которые опирается многолучевая звезда, ветвь отсутствует, то здесь образуется новая ветвь. Другими словами, многоугольник накладывается на непеределанную часть схемы

2.1. Алгоритм преобразования многолучевой звезды в полный многоугольник является универсальном алгоритмом эквивалентного преобразования электрической схемы без формирования системы алгебраических уравнений в явной форме. Формулы этого преобразования удаются на основе применения численного метода Гаусса к системе узловых уравнений YU=J. В развернутой форме записи система имеет вид:

y_1,1 U₁ -  y_1,2 U₂  -... - y_1,j-1 U_j-1 - y_1,j U_j - y_1,j+1 U_j+1-... - y_1,n U_n=J₁,

-y_2,1 U₂ +  y_2,2 U₂-... - y_2,j-1 U_j-1 - y_2,j U_j - y_2,j+1 U_j+1-... - y_2,n U_n=J₂,

...................................................................................................

-y_i-1,1 U₁ -y_i-1,2 U₂-...+y_i-1,j-1 U_j-1-y_i-1,j U_j -y_i-1,j+1 U_j+1-...- y_i-1,n U_n=J_i-1,

-y_i,1 U₁ -  y_i,2 U₂-... -  y_i,j-1 U_j-1 +  y_i,j U_j -  y_i,j+1 U_j+1-...-  y_i,n U_n=J_i,

-y_i+1,1 U₁-y_i+1,2 U₂-...-y_i+1,j-1 U_j-1-y_i+1,j U_j+y_i+1,j+1 U_j+1-...-y_i+1,n U_n=J_i+1,

....................................................................................................

-y_n,1 U₁ -  y_n,2 U₂-... - y_n,j-1 U_j-1-  y_n,j U_j - y_n,j+1 U_j+1-...+  y_n,n U_n=J_n.  (1)

Матрица узловых проводимостей Y является квадратной симметричной матрицей. Элемент y_ij (i=j) на главной диагонали матрицы Y равен сумме проводимости ветвей схемы, подключенных к i-тому узлу. Элемент y_ij (i¹j)  равен взятой со знаком минус проводимости ветви схемы, включенной между i-тым i j-тым узлами схемы. Матрица-столбец правых частей J-это токи, поступающие в узлы схемы от источников тока. Матрица-столбец узловых напряжений U является неизвестной. Порядок n матриц Y,J,U определяется количеством линейных независимых узлов схемы. Каждое i-тое уравнение системы (1) физически отражает сумму токов для каждого j-того линейно независимого узла схемы

Применим алгоритм Гаусса и выключим из системы неизвестную величину U_J. Для этого разделим i-тое уравнение на коэффициент y_ij (он должен быть не равным нулю), после чего будем последовательно умножать это уравнение на коэффициенты y_1,j, y_2,j, ... y_i-1,j, y_i+1,j, ... y_n,j i отнимать его от первого, второго и т.д. уравнений. В результате этого неизвестная величина U_j будет исключена из системы, при этом в системе пропадет i-тое уравнение i j-й столбец с неизвестными U_j. Порядок системы уменьшится на единицу, а элементы матриц Y и J примут новые значения Y¢ i J¢:

y_1,1¢ U1 -  y_1,2¢ U₂-... -   y_1,j-1¢ U_j-1 -  y_1,j+1¢ U_j+1-... - y_1,n¢ U_n=J₁¢,

y_2,1¢ U₂ + y_2,2¢ U₂+...   -y_2,j-1¢ U_j-1 -  y_2,j+1¢ U_j+1- ... - y_2,n¢ U_n=J₂¢,

...................................................................................................

-y_i-1,1¢ U₁ -y_i-1,2¢ U₂-...+ y_i-1,j-1¢ U_j-1 - y_i-1,j+1¢ U_j+1-...- y_i-1,n¢ U_n=J_i-1¢,

-y_i+1,1¢ U₁-y_i+1,2¢ U₂+...-y_i+1,j-1¢ U_{j-1 +} y_i+1,j+1¢ U_j+1-...-y_i+1,n¢ U_n=J_i+1¢,

......................................................................................................

-y_n,1¢ U₁ -  y_n,2¢ U₂-... - y_n,j-1¢ U_j-1 - y_n,j+1¢ U_j+1  -... + y_n,n¢ U_n=J_n¢.       (2)

Рассмотрим, как изменяется при исключении неизвестного напряжения U_j схема замещения, соответствующая системе узловых уравнений (1). Исключение узлового напряжения U_j из системы уравнений (1) соответствует исключению i-того узла схемы, или эквивалентно преобразованию (n-1)-лучевой звезды в i-том узле в полный (n-1)-угольник. Новые значения проводимостей и токов источников тока ветвей схемы отмечены в системе (2) верхнем индексом “штрих”. В системе (1) теоретически все элементы матриц Y и J не равны нулю, что соответствует связям каждого узла с каждым. На практике в схеме замещения электрической системы количество ветвей примерно только в полтора раза превышает количество узлов, поэтому в матрицах Y и J значительное количество элементов равно нулю. При исключении узла в такой схеме приросты будут получать только те ветви схемы, которые включены между узлами, на которые опирается многолучевая звезда.