Решение нелинейных уравнений. Нахождение корней с заданной точностью

Лабораторная работа №5

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Задана нелинейная функция, график, построенный в Excel, приведен на рис.1. Требуется найти один корень, т.к. график пересекает ось абсцисс только в одной точке на промежутке . Требуется найти эту точку.

Процесс отыскания корней производится в два этапа:

1. 

Рис. 1. График функции

Отделение корней, т. е. нахождение таких отрезков, внутри которых находится только один корень.

2.  Нахождение корней с заданной точностью.                                        

 Отделить корень в некоторых случаях можно и графически. Для этого необходимо построить график соответствующей функции и найти точку пересечения с осью абсцисс (рис.2).

Но этот метод может привести к большим погрешностям.

Можно использовать программный метод. При этом отыскиваются два таких соседних значения , для которых  имеет противоположные знаки.

Зададим код ошибки равный единице, предполагая, что на отрезки , где  - левая граница, а  - правая, нет корней. В дальнейшем проверим, так ли это. Затем зададим значение  и вычислим значение функции в точке . Изменим значение аргумента по формуле , где  - шаг перебора аргумента. Проверим, лежит ли  нутрии промежутка . Если , то на отрезке нет корня. Нужно возвратиться в вызывающую программу. Затем вычисляем   значение функции в новой точке  и проверяем, изменила ли функция знак или нет. Если нет, то опять изменяем . Если да, то определяем границы отрезка  по формулам , . В данном случае код ошибки равен единице, отрезок найден (рис. 3).

Для уточнения корня нелинейного уравнения до заданной точности используем два метода:

1.  Метод половинного деления. 2.Метод Ньютона.

Метод половинного деления

Данный метод заключается в разбиении отрезка пополам при условии, если корень  попадает в данный отрезок. Эту операцию можно повторять несколько раз до получения заданной точности. Зададим код ошибки равный единице. Проверим произведение , если знак положительный, то возвращаемся в вызывающую программу. Зададим границы отрезка содержащего корень , ; зададим начальное значение итерации , код ошибки равен нулю. Вычислим значение функции в точке . Вычислим середину отрезка : . Изменим, счетчик итераций на . Если длина отрезка  меньше заданной точности, то возвращаемся в вызывающую программу. Необходимо проверить, в каком из отрезков или  лежит корень. Если корень лежит внутри первого отрезка, то изменяем правую границу отрезка, в противном случае – левую: если, то , иначе  (рис.4).

Метод Ньютона

Метод состоит в построении итерационной последовательности , сходящейся к корню уравнения (рис. 5). Зададим код ошибки равный единице, и изначальное количество итераций , текущее значение корня . Выполним итерационный цикл, изменим, количество итераций на , если количество итераций превысило , осуществим возврат в вызывающую программу, вычислим уточненное значение по формуле: , вычислим модуль разности . В качестве нового значения зададим уточненное значение корня . Если , то итерационный цикл необходимо повторить. После достижения заданной точности, код ошибки, меняем на ноль и осуществляем возврат в вызывающую программу.

На языке Fortran программа примет следующий вид:

Function F(x)

F=sqrt(x)-cos(.387*x)

end

Function PF(x)

PF=1/(2*sqrt(x))+.387*sin(.387*x)

end         

Program L5

External F,PF

x0=0.5

do ; call OKNU(F,x0,1.5,0.1,a,b,ier1); if(ier1==1) exit

print*,a,b,ier1 ; x0=b

call MPD(F,a,b,1E-5,C,ier2)

print*,C,ier2

call MN(F,PF,0.5*(a+b),1E-5,20,C1,ier3)

print*,C1,ier3

enddo

End

Subroutine OKNU(F,XL,XR,h,a,b,ier)

X=XL; y=F(x); ier=1

do; x=x+h; if(x>XR) Return

Z=F(x); if(y*Z<=0) then

ier=0; a=x-h; b=x;

return; end if

enddo

End

Subroutine MPD(F,a1,b1,eps,c,ier)

a=a1; b=b1

ier=1; if(F(a)*F(b)>0) Return

ier=0; y=F(a)

do; c=0.5*(a+b)

if(y*F(c)>0) then; a=c; else; b=c; end if

if(b-a<eps) Return

enddo

End

Subroutine MN(F,FP,x0,eps,mmax,x,ier)

x=x0; m=0

do; m=m+1; if(m>mmax) Return

y=x-F(x)/FP(x); e=abs(y-x); x=y

if(e<eps) then; ier=0; Return; end if

enddo

End                            

8.000001E-01	9.000001E-01	0
8.867738E-01		0
8.867772E-01		0