Математика \ Математический анализ

Ряды Тейлора и Лорана

Страницы работы

5 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

Тема 6-1. Ряды Тейлора и Лорана

Лекция 7

Введение

Пусть дана функция f(z), аналитическая в некоторой окрестности точки а.

Тогда в круге сходимости эта функция может быть представлена рядом Тейлора:

f(z)=

а само равенство называют разложением функции в ряд Тейлора.

Замечание: многоточие, которым заканчивается правая часть функции f(z), символизирует тот факт, что точное равенство достигается за счет бесконечного множества слагаемых. Поэтому последнего слагаемого нет.

Пример 1.

Разложить в ряд Тейлора по степеням бинома (z – i) функцию f(z) = z⁵, а = i.

Решение:

Находим производные функции f(z) = z⁵: .

Определим значения производных в точке a = i: .

Отсюда - многочлен 5-ой степени.

Формула Тейлора

Если функция f(z) имеет в точке а производные до порядка n включительно, то ее можно представить формулой Тейлора порядка n:

f(z) =; .

Положив а = 0, можно разложить функцию f(z) в ряд Маклорена: f(z)=

Показательная и тригонометрическая функция комплексного переменного

Разложим e^z и e^iz в ряд Маклорена:

для e^z для e^iz

Применив разложение в ряд к функциям sinz и cosz, получим:

f(z)=e^z f(0)=1

f¢(z)=e^z f¢(0)=1

f¢¢(z)=e^z f¢¢(0)=1

f¢¢¢(z)=e^z f¢¢¢(0)=1

……… ………

f⁽ⁿ⁾(z)=e^z f⁽ⁿ⁾(0)=1

………. …….

f(z)=e^zi f(0)=1

f¢(z)=ie^zi f¢(0)=i

f¢¢(z)=-e^zi f¢¢(0)=-1

f¢¢¢(z)=-ie^zi f¢¢¢(0)=-i

……… ………

f⁽ⁿ⁾(z)=iⁿe^zi f⁽ⁿ⁾(0)=1

………. …….

Произведя замену z на iz для функции e^z и разделив e^iz на Ree^iz и Ime^iz части, легко увидеть, что e^zi есть сумма cosz и i× sinz.

Cоотношения между функциями, выражаемые как:

; ;

называются формулами Эйлера.

Области сходимости рядов

Рассмотрим два ряда:

1. , область сходимости которого определяется неравенством r <| z-a| и

2. , область сходимости которого определяется неравенством | z-a| < R.

При условии r < R, областью сходимости ряда, полученного сложением вышеперечисленных рядов, +

рис.1

служит кольца r < | z-a|< R, ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке a и радиусами z и R (рис. 1).

Пример 2.

Исследовать сходимость ряда .

Решение:

Рассмотрим два ряда:

1 – ый ряд

Чтобы представить 1–ый ряд в виде степенного ряда , надо в нем положить (z – 1) =. Тогда получим степенной ряд , радиус сходимости которого найдем, применив формулу Даламбера r =: .

Следовательно ряд сходится , если ||< 2, т.е. < 2 Þ |z - 1| >.

1-ый ряд сходится вне круга радиуса r = 1/2 с центром в точке z = 1.

2 – ой ряд

По формуле Даламбера радиус сходимости R = и ряд сходится , если ||< 5.

2-ой ряд сходится в круге радиуса R = 5 с центром в точке z = 1.

Ответ: областью сходимость исходного ряда является кольцо 1/2< | z -1 |< 5.

Ряд Лорана

Если f(z) - однозначная и аналитическая функция в кольце г < | г - а |< R, то эта функция в указанном кольце может быть представлена в виде суммы ряда Лорана:

f(z) = +

Ряд - главная часть ряда Лорана, а

ряд - правильная часть ряда Лорана.

Коэффициенты этого ряда можно вычислить по формуле , nÎ Z. Коэффициент А_-1 называется вычетом функции f(z) относительно изолированной особой

точки z = a.

Особая точка

Если ряд Лорана содержит главную часть, то а называется изолированной особой точкой.

Особая точка z = a называется устранимой, если существует конечный предел . Особая точкаявляется устранимой, если главная часть разложения в ряд Лорана отсутствует.

Пример3.

в точке z = 0 является устранимой особой точкой, так как

Особая точка z = a называется существенно особой, если не существует.

Пример 4.

в точке z=0 имеет существенно особую точку, так как .

Полюс функции

Особая точка z = a называется полюсом функции f(z), если .

Пример 5.

в точке z =0 является полюсом первого порядка, так как .

Практикум 4

1. Разложить sinx по степеням (x-p/4).

Решение: f(x)= sinx = sinp/4+(1/1!)×cosp/4×(x-p/4)-(1/2!)× sinp/4×(x-p/4)²-(1/3!)×cosp/4×(x-p/4)³+…=

=[1+(1/1!)×(x-p/4)-(1/2!)×(x-p/4)²-(1/3!)×(x-p/4)³+…].

2. Найти область сходимости ряда

Решение: R=.

Областью сходимости ряда является круг |z – i|< .

3. Исследовать сходимость ряда Лорана

Решение: Рассмотрим два ряда: оба ряда являются геометрическими прогрессиями со знаменателями соответсвенно и . Они сходятся , если < 1 и <1 соответственно.

Так как = 5, то |5/z|< 1 Þ |z| >5, и = 1 Þ|z| < 1, полученные неравенства несовместны и данный ряд не сходится ни в одной точке плоскости.

4.Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию f(z)= в окрестности точки z =0.

Решение: Представим функцию в виде: .

Дробь можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом а = -1/5 и знаменателем q= <1. (Из при |q|< 1, qⁿ® 0)