Расчет температурно-концентрационных зависимостей концентрации дырок и электронов. Расчет температурно-концентрационных зависимостей коэффициентов пьезосопротивления

2.1. Расчет температурно-концентрационных зависимостей

концентрации дырок и электронов

Для последующего выполнения сплайн-интерполяции необходимо рассчитать зависимость концентрации электронов и дырок от температуры и концентрации легирующей примеси. В соответствие с заданием на бакалаврскую работу расчетный диапазон температур составлял от 200К до 500К, расчетный диапазон концентрации – от 10¹⁵ см^-3 до 10²⁰ см^-3, причем использовалась логарифмическая шкала концентраций.

Расчет концентрации выполнялся на основе решения уравнения нейтральности относительно уровня Ферми:

,               (2.1)

где р - концентрация дырок:

                                      (2.2)

n – концентрация электронов:

                                       (2.3)

N_d⁺ – концентрация ионизированных акцепторов:

                                            (2.4)

N_a^- - концентрация ионизированных доноров:

                                            (2.5)

Уравнение нейтральности решалась методом половинного деления (бисекции). При решение уравнения  были учтены следующие факторы:

1.  Квадратичная зависимость ширины запрещенной зоны от температуры:

                                                 (2.6)

2.  Зависимость ширины запрещенной зоны и энергий дна зоны проводимости и потолка валентной зоны от степени легирования:

,           (2.7)

где N – суммарная концентрация легирующей примеси.

При расчете предполагалось, что изменение энергии дна зоны проводимости и потолка валентной зоны происходило пропорционально отношению концентрации:

                                                   (2.8)

                                                   (2.9)

Зависимость ширины запрещенной зоны от температуры представлена на рисунке 2.1, а зависимость ширины запрещенной зоны от концентрации степени легирования на рисунке 2.2 (а и б)

На рис. 2.2 показано, что примесные уровни E_a, E_d, сохраняют постоянные значения и при больших концентрациях заходят в зону проводимости и валентную зону.

На рис. 2.3а представлена зависимость концентрации электронов от температуры для различных концентраций доноров, а на рис. 2.3б – от концентрации доноров при различных температурах.

На рис. 2.4 (а и б) показаны аналогичные зависимости для дырок.

2.2. Расчет температурно-концентрационных зависимостей

подвижности и удельного сопротивления

Расчет подвижности выполняется с использованием модели Зильбергера, на основе следующих выражений:

                                       (2.10)

На рис. 2.5а представлена зависимость подвижности электронов от температуры для различных концентраций доноров, а на рис. 2.5б – от концентрации доноров при различных температурах.

На рис. 2.6 (а и б) показаны аналогичные зависимости для подвижности дырок.

На основе рассчитанных концентраций и подвижностей можно построить графики зависимости удельного сопротивления от температуры и концентрации степени легирования.

                 (2.11)

                 (2.12)

На рис. 2.7а представлена зависимость удельного сопротивления электронов от температуры, а на рис. 2.7б – от концентрации доноров.

На рис. 2.8 (а и б) показаны аналогичные зависимости для удельного сопротивления дырок.

Удельное сопротивление кремния при комнатной температуре 23⁰С может быть вычислено на основе эмпирических формул, приведенных в американском стандарте [12]:

для р – кремния легированного бором:

              (2.13)

для n – кремния легированного фосфором:

где:

                 (2.14)

 - концентрация фосфора в см^-3

В результате решений по данным уравнениям были получены расчеты зависимости удельного сопротивления от концентрации легирующей примеси при температуре Т=300К. По этим данным построены графики, которые были сравнимы с графиками, полученными по нашим расчетам. Полученные результаты представлены ниже на рис. 2.9а и 2.9б:

При комнатной температуре графики практически совпадают, на основе чего можно сделать выводы, что и при других температурах они совпадут. Таким образом, наша модель не противоречит американским стандартам и является правильной для расчетов.

2.3. Расчет температурно-концентрационных зависимостей

коэффициентов пьезосопротивления

Характеристики сенсоров определяются зависимостью от температуры и концентрации, удельного сопротивления и коэффициентов пьезосопротивления. Удельное сопротивление было рассмотрено выше. Необходимо проанализировать и построить модель зависимости коэффициентов пьезосопротивления от температуры и концентрации, так как это важно для практического применения. В литературном обзоре уже упоминалось о неточности результатов, опирающихся лишь на физическую теорию эффекта из-за приблизительных значений параметров. Это приводит к необходимости использовать полуэмпирический метод моделирования, где ряд величин и зависимостей, берутся из экспериментальных данных.

Наиболее детально данный вопрос был рассмотрен Канда[16]. Ниже представлена его модель зависимости коэффициентов пьезосопротивления от температуры и концентрации для n и p – кремния, а также представлены графики, построенные нами по этой модели.

Зависимость коэффициентов пьезосопротивления считается по формуле:

                                        (2.15)

где  является пьезорезистивным фактором и рассчитывается через интеграл Ферми дробных индексов:

                                    (2.16)

В формуле используют не только интеграл Ферми дробных индексов, но и его производную. Интеграл Ферми рассчитывается по формуле:

                                     (2.17)

где s= - 1/2.

Если возьмем от этого интеграла производную и преобразуем ее, то в результате получим:

                                       (2.18)

В результате вычислений по данным выражениям были получены значения для расчетов зависимости коэффициентов пьезосопротивления от концентрации легирующей примеси в диапазоне температур от – 75 ⁰С до +175 ⁰С.

На рисунке 2.10а представлена зависимость коэффициента пьезосопротивления от примеси доноров при различных температурах, тех же что и в статье Канда.

Из рисунка видно, что чем меньше температура, и больше концентрация доноров, тем больше коэффициент пьезосопротивления.

На рисунке 2.10б представлена аналогичная зависимость для концентрации акцепторов при таком же диапазоне температур.