Моделирование процесса теплообмена в металлической пластинке

Моделирование процесса теплообмена в металлической пластинке.

Исходные данные:

Материал
Серебро	8.6	0.385	111

Основным уравнение описывающим процессы теплообмена является уравнение теплопроводности:

Где:

В зависимости от граничных условий решение данного дифференциального уравнения может осуществляться по разному.

1). Граничные условия, когда в момент времени t=0, задана функция.

Область поиска решений разбивается на прямоугольную сетку, получаем n внутренних узлов по координате «x» и неизвестное число внутренних узлов по координате времени, т.к. у нас не ограничено время.

Если рассмотреть ikузел, то можно записать формулы конечных разностей для производных:

При использовании этих формул получаем:

Индексы

i= (1, 2, ...)

k= (0, 1, 2, ..., n)

На основании этой формулы получаем шаблон численного интегрирования, т.е. по 3-ом точкам определяется значение в 4-ой точке.

При использовании формул дифференцирования назад:

Получаем СЛАУ:

Делая замену по индексам k=k+1, k-1=k, получаем:

Явный метод (ФДВ) обладает числовой неустойчивостью, в отличие от неявного (ФДН):

 

Данный метод обеспечивает точность в пределах 1%.

Выбор шага разбиения сетки осуществляется на основе условия устойчивости:

Листинг управляющей программы:

// программа для решения краевой задачи

// с уравнением типа теплопроводности - диффузии

// с помощью TepDif

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include "tepdif.h"

#include "define.h"

double UL(double);

double UR(double);

double U0(double);

void main()

{

// описание данных

int  KeyGr,Nx,Nout,KeyDemo,Ns;

long int Nt;

double a2,L,Ht;

LVector X,T;

vMatrix U;

// ввод входных данных

a2=33.5E-2     ;      // параметр уравнения, см^2/c

L=1   ;         // толщина пластины, см

KeyGr=1;       // ключ левого граничного условия

Nx=49;         // число внутренних точек сетки по x

Ht=1E-4     ;      // шаг по времени, с

Nt=2000;       // число шагов по времени

Nout=100;      // число шагов, через которое данные слоя выводятся

KeyDemo=1;     // ключ демонстрации хода интегрирования

// расчет

clrscr();

TDExp(UL,UR,U0,a2,L,KeyGr,Nx,Nt,Nout,Ht,KeyDemo, U,X,T,Ns);

// вывод результата

Output(X,T,U,Nx,Ns);

}

double UL(double t)

// левое граничное условие

{

return 50;

}

double UR(double t)

// правое граничное условие

{

return 100;

}

double U0(double x)

// начальное условие

{

return 150-200*x;

}

Полученные результаты:

Рисунок 1. Зависимость температуры от координаты при различных значениях времени

Рисунок 2. Зависимость температуры от времени для различных слоев по координате Х

2). Граничные условия по градиенту.

В качестве граничного условия задается градиент:

Температура в нулевой точке будет расти, пока не достигнет стационарного состояния.

Рассматриваются так же два случая, аналогичные пункту 1, только с учетом что на левой границе задан градиент изменения температур.

Для явного метода:

Листинг управляющей программы:

// программа для решения краевой задачи

// с уравнением типа теплопроводности - диффузии

// с помощью TepDif

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include "tepdif.h"

#include "define.h"

double UL(double);

double UR(double);

double U0(double);

void main()

{

// описание данных

int  KeyGr,Nx,Nout,KeyDemo,Ns;

long int Nt;

double a2,L,Ht;

LVector X,T;

vMatrix U;

// ввод входных данных

a2=33.5E-2     ;      // параметр уравнения, см^2/c

L=1   ;         // толщина пластины, см

KeyGr=2;       // ключ левого граничного условия

Nx=49;         // число внутренних точек сетки по x

Ht=1E-4     ;      // шаг по времени, с

Nt=2000;       // число шагов по времени

Nout=100;      // число шагов, через которое данные слоя выводятся

KeyDemo=1;     // ключ демонстрации хода интегрирования

// расчет

clrscr();

TDExp(UL,UR,U0,a2,L,KeyGr,Nx,Nt,Nout,Ht,KeyDemo, U,X,T,Ns);

// вывод результата

Output(X,T,U,Nx,Ns);

}

double UL(double t)

// левое граничное условие

{

return -50;

}

double UR(double t)

// правое граничное условие

{

return 100;

}

double U0(double x)

// начальное условие

{

return 150-200*x;

}

Полученные результаты:

Рисунок 3. Зависимость температуры от координаты при различных значениях времени

Рисунок 2. Зависимость температуры от времени для различных слоев по координате Х