Моделирование упругого элемента в виде консольной балки с помощью пакета программы ANSYS

Вопрос 9. Моделирование упругого элемента в виде консольной балки с помощью пакета программы ANSYS.

Рассмотрим напряженное состояние консольно-защемленной балочки прямоугольного сечения (рис. 1), на свободный конец которой действует сосредоточенная сила. Балочка имеет поперечные размеры a*b, а начало системы координат выбрано в центре свободного конца балочки. Для определенности  будем  считать,   что  оси  х₁, х₂, х₃ совпадают с главными  кристаллографическими осями   [100]   кремния. Линия действия сосредоточенной силы лежит в плоскостих₁ох₃.

В реальном упругом элементе сосредоточенная сила Qможет действовать на небольшой участок верхней поверхности. Действительное распределение механических напряжений вблизи этого участка неизвестно, поскольку неизвестна форма поверхности контактирующего с балочкой тела. Для упрощения математической формулировки задачи воспользуемся принципом Сен-Венана, который широко применяется при решении задач теории упругости. Этот принцип заключается в следующем. Если на какой-либо площадке δSповерхности тела действует система сил с главным вектором Fи моментом М и в пределах площадки δS происходит перераспределение сил, так что Fи М неизменны, то эти перераспределения не скажутся для точек, удаленных от площадки на расстояние, превышающее ;е максимальный размер.

Принцип Сен-Венана дает определенную свободу в записи граничных условий. Пользуясь этим, предположим, что изгибающая сила Qбалочки приложена к середине ее сечения, х₃ =0 . Решения, найденные для такого характера нагружения, будут справедливы для точек балочки х₃>b, если b- максимальный размер сечения.

При таком характере нагружения верхние волокна балочки будут растягиваться, а нижние - сжиматься. Учитывая, что толщина а упругих элементов сенсоров много меньше ширины bи длины L, можно считать, что компонента тензора T₃₃ пропорциональна удаленности волокна балочки относительно нейтральной оси, совпадающей с осью х₁, т.е:

T₃₃ = Kx₁, где К - коэффициент пропорциональности. Его значение можно установить из условия равновесия упругого элемента под действием нагрузки. Для этого сечением х₃=свыделим часть упругого элемента справа от сечения, остальную часть балочки мысленно отбросим. Для того чтобы равновесие правой части не нарушалось, действие отброшенной левой части заменим силами, распределенными по сечению х₃ =с в соответствии с рис.1, где указаны направления действия компоненты тензора напряжения Т₃₃. Так как «отрезанная» часть упругого элемента находится в равновесии, сумма моментов всех сил относительно оси, проходящей через середину сечения х₃ = const параллельно оси х₂, должна быть равна нулю

где dS- элемент поверхности сечения х₃ =с.

Подставляя вместо Т₃₃ Kx₁, находим коэффициент пропорциональности К

.

Для всех точек упругого элемента, кроме торцов балочки, внешние силы отсутствуют (собственным весом балочки по сравнению с силой Qбудем пренебрегать), поэтому для поверхностных точек упругого элемента выполняются равенства

Если деформации волокон балочки невелики, то можно считать, что слои, параллельные боковым граням, не давят друг на друга и не стремятся сдвинуть друг друга. Это позволяет принять для всех точек сечения х=с:

T₁₁ = T₁₂ = T₂₂ = 0.

Вычисления остальных компонент тензора напряжений достаточно трудоемко, но оно облегчаются несколькими обстоятельствами:

- В сенсорах с применением технологии микросистемной техники тензорезистивные слои имеют малую глубину по сравнению с толщиной упругого элемента. Поэтому для всех точек тензорезистивного слоя можно принять, что координата х₁«0.5а, т.е. он расположен на поверхности и, как следствие, Т₃₁ << T₃₃. Кроме того, тензорезисторы стремятся разместить в центре балочки, когда х₂ = 0, что приводит к равенству Т₃₂ = 0 .

Для узких балочек, когда а>>b, хорошо выполняется соотношение Т₃₁>>Т₂₃. В результате тензор напряжений будет иметь вид:

Компоненты тензора деформации волокон балочки можно найти, используя закон Гука:

Результаты, полученные в ходе моделирования консольной балки в пакете программ ANSYS.

Рис.2. Схема для моделирования консольной балки в ANSYS.

Приведем расчеты для балки в программе модуля consol.

Рис.3. Результаты расчета в программе consol.

Рис. 4. Деформированная и недеформированная структура балки.

Рис. 5 Распределение напряжений по оси х в консольно-защемленной балке.

Значение максимального напряжения совпадает со значением напряжения полученного в программе consol: 0.126Е+09.

Рис. 6 Распределение напряжений по оси y в консольно-защемленной балке.

Рис. 7 Распределение напряжений по оси z в консольно-защемленной балке.

Рис. 8 Распределение деформаций по оси х в консольно-защемленной балке.

Значение максимальной деформации совпадает со значением полученным в программе consol: 0.962Е-03.

Рис.9. Зависимость напряжений от координаты.

Рис.10. Зависимость деформаций от координаты.

Рис.11. Зависимость прогиба от координаты.