Преобразование тензоров механических напряжений и деформации. Расчет механических напряжений и деформаций с помощью тензорного калькулятора

Страницы работы

Содержание работы

Вопрос 2. Преобразование тензоров механических напряжений и деформации. Расчет механических напряжений и деформаций с помощью тензорного калькулятора.

Тензор механических напряжений

Объем твердого тела, находящийся в напряженном состоянии, в общем случае испытывает влияние сил двух типов: 1) объемных сил, действующих на все части упругого элемента, таких как силы инерции или сила тяжести, величина которых пропорциональна объему элемента; 2) сил, действующих через поверхность любого элементарного объема упругого элемента со стороны окружающих частей. Такие силы пропорциональны площади поверхности. Величина силы, отнесенная к единице площади, именуется напряжением.

Пусть в теле упругого элемента выделена малая площадка δSи ее ориентация в пространстве задается с помощью вектора внешней нормали l (1₁1₂1₃). Равнодействующую сил на площадке δS обозначим F, тогда отношение F/ δS = Tдает вектор механических напряжений, действующих на эту площадку (рис. 1).

В пределе, при δS→ 0, вектор напряжений описывает силовое воздействие в точке M(x₁x₂x₃) твердого тела. Для описания напряженного состояния твердого тела удобно использовать 9 коэффициентов преобразования, связывающих компоненты вектора напряжения и вектора нормали к площадке δS в точке М:

, где Tij – тензор второго ранга, именуемый тензором механических напряжений.

Тензор механических напряжений при преобразовании координат (повороте) изменяется согласно уравнениям:

где [α] - матрица направляющих косинусов, связывающих «старую» и «новую» системы координат. Эта матрица строится по правилу:

где α_ij= cos (x_i’, x_j) и т.д.

Матрица направляющих косинусов обладает несколькими важными свойствами, позволяющими контролировать правильность ее составления:

Величина, стоящая в правой части формулы - дельта-символ Кронекера, определяемый равенством:

Транспонированная матрица направляющих косинусов является одновременно и обратной по отношению к исходной, что приводит к равенству:

Физический смысл компонент Tijочевиден из рис. 2, где представлены силы, действующие на грани единичного куба в однородно напряженном теле. Через каждую грань будет передаваться сила, действующая со стороны внешних частей тела на внутреннюю область куба. Силу, приложенную к каждой грани, можно разложить на три компоненты. Тогда Tijозначает i-ю компоненту, действующую в направлении оси охi, на грань куба, перпендикулярную к охj. Диагональные компоненты T₁₁, T₂₂, T₃₃ именуются также нормальными компонентами и описывают напряжения растяжения или сжатия на площадях, перпендикулярных к осям (x₁,x₂,x₃). Недиагональные компоненты описывают сдвиговые механические напряжения, когда сила действует касательно плоскости соответствующей площадки. Сдвиговые компоненты стремятся исказить форму единичного куба.

Тензор деформации.

Упругие элементы микромеханических систем, находящиеся в напряженном состоянии, деформируются, т. е. расстояние и взаимная ориентация двух любых точек, относящихся к упругому элементу, изменяются. В теории упругости смещения любой точки твердого тела при деформации описываются с помощью вектора смещения u,компоненты которого в общем случае зависят от положения точки в недеформированном теле, u (x₁,x₂,x₃)

При исследовании разнообразных физических явлений в микросистемной технике ключевое значение имеет не абсолютное смещение точек, а их относительное перемещение и, следовательно, относительные деформации. Кроме того, практическое значение имеют только малые смещения, что обусловлено, в первую очередь, хрупким характером разрушения кремния.

Для пояснения идеи математического описания деформации рассмотрим растяжение тонкой пластинки (рис. 3). Выберем систему координат и зафиксируем ее в пространстве (система координат неподвижна!). Под действием механических напряжений пластинка деформируется и точка М с координатами (x₁,x₂) перемещается в точку М' с координатами х₁ + и₁и х₂ + и₂.

Величины и₁ и u₂ - компоненты вектора смещения точки М, u (u_1,u₂)в выбранной системе координат. Выделим на недеформированной пластинке малую прямоугольную область МQ₁Q₂Q₃, со сторонами ∆x₁и ∆х₂, параллельными осям х₁ и х₂. После деформации эта область изменяет свои размеры и форму и имеет обозначение М’Q1’Q2’Q3’. Отрезок ММ' представляет собой вектор смещения точки М. Изменение размера проекции отрезка МQ₁’на ось х₁ можно охарактеризовать отношением

Поворот отрезка МQ₁’ относительно оси х₁ можно охарактеризовать углом:

Поскольку углы поворота малы (следствие малости деформации), tgѲ≈Ѳ и в знаменателе ∆u₁<<∆x₁, получаем .

Аналогично, изменение размеров и положения стороны М’Q₂’, можно получить соотношения :

В пределе при ∆х₁и ∆х₂→ 0, четыре безразмерные величины е_ij характеризуют деформацию пластинки в точке. Более точно деформированное состояние упругого элемента описывает тензор деформации Ɛij, построенный как симметризованная комбинация из е_ij:

Применение симметризованных комбинаций частных производных позволяет исключить не интересные для теории упругости вращения пластинки как целого, когда расстояние и взаимное положение точек упруго элемента не изменяются.

В случае трех измерений, когда вектор смещения точки М зависит от трех координат M(x₁x₂х₃), общий подход к определению тензора деформаций, изложенный выше, полностью сохраняется. Трехмерный тензор деформаций определяется симметризо-ванными выражениями:

Диагональные компоненты описывают удлинение или сжатие сторон элементарного объема, остальные компоненты представляют сдвиговые деформации, характеризующие изменение углов между прямыми. Например, если в недеформированном упругом элементе две прямые образуют прямой угол, то после деформации угол будет равен φ = 0.5π-2ε₁₃. Аналогично можно интерпретировать ε₂₃и ε₃₁.

Задача.

Одноосное напряжение δ = . L₁ (112), δ (МПа) = 95, L2 (313).