Колебания и волны: Методические указания к лабораторным работам

равны друг другу, то траектория уже не будет эллипсом, а имеет вид сложной незамкнутой линии. Только, когда частоты колебаний n_х и n_у отличаются в целое число раз, траектории получаются замкнутыми и называются фигурами Лиссажу.

Форма фигуры Лиссажу позволяет определить отношение частот складываемых колебаний. Для этого достаточно подсчитать число пересечений фигуры с осью X и осью Y. Если ось координат проходит через точку пересечения ветвей фигуры Лиссажу, то эту точку считают дважды.

Для фигуры Лиссажу, изображенной на рис.2, число пересечений ее ветвей c осью X равно n_х = 2, а с осью Y - n_у = 4. Можно показать, что отношение частот складываемых колебаний связано с числом пересечений формулой

                (7)

Для примера рис.2   .

Эллипс — простейшая фигура Лиссажу, для которой .

Пользуясь методом фигур Лиссажу удобно сравнивать частоты колебаний. Например, можно с помощью эталонного генератора градуировать шкалу генератора неизвестных частот.

Для получения фигур Лиссажу собирают схему рис.3. Схема состоит из генератора переменного напряжения ГПН, звукового генератора ЗГ и электронного осциллографа ЭО. Сигналы с ГПН и ЗГ подаются на каналы I и II осциллографа, включенные как отклоняющие луч во взаимно перпендикулярных направлениях.

4. Изучение сложения одинаково направленных колебаний с различными частотами производится также с помощью схемы рис.3. При этом каналы I и II осциллографа включаются так, чтобы оба поступающих на них сигнала отклоняли луч вдоль вертикальной оси у. Включается также генератор развертки ЭО и кнопка сложения сигналов.

Расчет показывает [1], что при одинаковых амплитудах складываемых колебаний

U₁ = U_o cos w₁t

и

U₂ = U_o cos w₂t

Суммарное колебание будет определяться выражением

U = U₁ + U₂ = 2U_o cos            (8)

Если Dw = w₁ - w₂ << w_1,2 , то есть, если частоты складываемых колебаний отличаются мало, то колебания (8) называют биениями (рис.4). Биения приближенно можно рассматривать как гармонические колебания с циклической частотой , амплитуда которых медленно меняется по закону

                        A(t) =                                (9)

Частота

                                                       (10)

называется частотой биений.

Обратная величина

                                               Т_б =                                            (11)

является периодом биений.

Задание

1. Изучить инструкцию по эксплуатации осциллографа, назначение ручек управления.

2. Собрать схему рис.1. Следить, чтобы клеммы «земля» каналов осциллографа ЭО и генератора ЗГ были подключены к общей точке. В качестве реактивного сопротивления Х рекомендуется подключить конденсатор С₃. Кнопки управления ЭО «®®» (слева от экрана) и «I» (справа от экрана) должны быть нажаты.

3. Получить на экране одновременно два гармонических сигнала. Меняя частоту ЗГ (грубо и плавно) проследить за изменением разности фаз между колебаниями. Определить, при каких частотах разность фаз равна нулю, а при каких - наибольшая. Определить Dj _{«макс.».} = (j₂ - j₁) численно, сравнивая сигналы. Измерить амплитуды колебаний при частотах соответствующих Dj = 0 и Dj_{«макс.».}

4. Нажав кнопку «I + II » (слева от экрана) сложить однонаправленные колебания. Установив частоту ЗГ, соответствующую Dj = 0, убедиться, что

U_o = U₁₀ + U₂₀

Установив частоту ЗГ, соответствующую Dj_макс , убедиться, что

U_o < U₁₀ + U₂₀.

Измерить U_o. Зная U_o , U₁₀ , U₂₀ вычислить по формуле (4) разность фаз

(j₂ - j₁).   Сравнить полученное значение с измеренным ранее в п.3.

5. Сложить колебания как взаимно перпендикулярные. Для этого, не меняя схемы, нажать кнопку «X - Y» слева от экрана и кнопку «X - Y» справа от экрана. Зарисовать траекторию движения луча на экране ЭО при частотах, соответствующих  Dj = 0 и Dj _{«макс.».}

6. Собрать схему рис.3. Установить на ГПН один из диапазонов с неизвестной частотой № 4 ¸ 7. Меняя частоту ЗГ добиться получения на экране, во-первых, эллипса. Сняв показания со шкалы генератора определить неизвестную частоту ГПН. Проградуировать, получая эллипс, остальные диапазоны с неизвестными частотами. Изменяя частоту ЗГ получить фигуру Лиссажу. Пользуясь формулой (7) повторить градуировку на некоторых диапазонах. Убедиться, что результаты совпадают с полученными ранее методом эллипса.. В заключение переключить ГПН на диапазон № 3 и методом эллипса определить точное значение частоты на этом диапазоне.

7. Не меняя схемы измерений и диапазонов ГПН и ЗГ сложить их колебания как однонаправленные. Для этого нажать управляющие кнопки «I + II» - слева от экрана и «I» - справа от экрана. Вращая ручку «Время/Дел.» (грубо - плавно» ЭО и немного изменив частоту ЗГ, добиться устойчивой