Расчет изотермического химического реактора с непрерывным перемешиванием

Расчет изотермического химического реактора с непрерывным перемешиванием.

Весьма существенным при анализе систем управления является понятие управляемости. Неформально система управляема, если найдется такое управление , которое обеспечивает ее перевод из произвольного начального состояния  в произвольное же состояние  за конечное время. Более строго определение управляемости может быть сформулировано следующим образом.

Система называется полностью управляемой , если из любого начального состояния   она может быть переведена в любое наперед заданное состояние  с помощью некоторого управления  за конечное .

Возможен случай частично управляемой системы, т.е. системы, имеющей подмножества начальных состояний, из которых достижение  произвольного желаемого состояния за конечное время невозможно.

Рассмотрим случай, когда имеется изотермический химический реактор с перемешиванием реагентов, в котором происходит необратимая реакция , где реакция  имеет порядок 2, а реакция  ¾ порядок  ½. Причем скорости реакций заданы: r₁ = k₁c_A, r₂ = k₃c_B, где k₁, k₃ ¾ константы скоростей реакций.

Модель процесса в этом случае задается следующими уравнениями:

,

.

Требуется поддержать с_А и с_B как можно ближе к заданным уставкам с_Аd и с_Ad , изменяя концентрации реагентов  и , т.е. c_Af и с_Bf .

После введения безразмерных переменных

,       ,      ,     ,

,      ,     

приводится к виду:

 ,                                     (1)

,        .         (2)

Тогда задача регулирования формулируется так: поддерживать выходные концентрации  на заданных уровнях, изменяя входные концентрации .

Таким образом, имеем нелинейную систему, которая записана в виде системы 2-ух дифференциальных уравнений 1-го порядка :

Синтезируем нашу нелинейную систему методом обратных задач.

Метод обратных задач используется тогда, когда зная конечный результат, делаем расчет, находим уравнения, формулы и т.д., т.е. находим оптимальное управление для нашей системы.

Для нашего случая на выходе должна быть желаемая динамическая характеристика.

Сведем систему уравнений до уравнения самого высокого порядка. Для этого продифференцируем  по времени :

                (3)

Зададимся желаемым ДУ 2-го порядка :

Возьмем, что от системы управления требуется, чтобы ее переходная характеристика как можно быстрее стремилась к установившемуся значению с минимальным перерегулированием. Системы такого типа принято называть системами с апериодической реакцией. В качестве меры близости переходной характеристики к установившемуся значению принимают зону, равную 2% от этого значения. Тогда временем установления считают время T_s, за которое переходная характеристика входит в указанную зону. Апериодическая реакция характеризуется следующими показателями:

1.  Установившаяся ошибка = 0.

2.  Быстродействие ® минимальное время нарастания и время установления.

3.  0,1% £ относительное перерегулирование < 2%.

4.  Относительный выброс ниже установившегося значения < 2%.

Показатели (3) и (4) требуют, чтобы после того как в момент T_s переходная характеристика войдет в зону 2% от установившегося значения, она все время оставалась в пределах этой зоны.

Чтобы определить коэффициенты передаточной функции замкнутой системы T(s), при которых реакция будет иметь апериодический характер, приведем сначала эту передаточную функцию к нормированному виду.

                  (4)

Разделим числитель и знаменатель на :

                   (5)

Введя обозначение , получим:

.                         (6)

Выражение (3) ¾ это нормированная передаточная функция замкнутой системы второго порядка. Тем же самым способом определяются и нормированные передаточные функции систем более высокого порядка. Коэффициентам a,b,g и т.д. придаются значения, при которых система будет иметь апериодическую реакцию. В выражении (3) фигурирует нормированная переменная . Поэтому частота определяется по заданному времени установления или времени нарастания. Так, если в системе второго порядка необходимо иметь время установления, равное 1с, то мы имеем нормированное время установления

.

Отсюда находим частоту :

.

После этого можно записать передаточную функцию замкнутой системы в виде (4):

Промоделируем полученную систему, используя приложение к математическому пакету MATLAB-Simulink:

Переходной процесс для нашей системы выглядит следующим образом:

Передаточную функцию нашей замкнутой системы 2-го порядка мы можем записать как дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Это и есть наше  .

Теперь на основе этого уравнения подставим в уравнение (3) это желаемое уравнение :

Получили закон для управляющего воздействия, которое включает задающее воздействие g, где ¾ числа Дамкелера для разных ступеней реакции.

Зададимся параметрами химического реактора :

V = 10 м³ ¾ объем химического реактора;

t = 30 мин =1800 с ¾ время протекания реакции;

F = V/t = 0.00555 м³/с =5.55 л/с;

Причем константы скоростей реакции зависят от температуры :

,    i=1,2   где E_i ¾ энергия активации; A_i0 ¾ концентрации реагентов.

И эти необходимые параметры считаются заданными, а именно:

А₁₀ = 4000 л/(моль×с) = 4 м³/(моль×с),

А₂₀ = 6.2×10⁵ л/(моль×с) = 6.2×10² м³/(моль×с),

Е₁ = 5000 кал/(г×моль),

Е₂ = 10000 кал/(г×моль).

Подставив значения, приняв Т=300 °С, получим :

Получим управляющее воздействие равным :