Дифференциальные уравнения. Линейное дифференциальное уравнение первого и второго порядка. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах, страница 3

y_n+1 =  y_n +  {f(x_n, у_n)+ f[x_n+1,y_{n +} f(xn,yn) h_n]}

Метод Рунге - Кутта

Обеспечивает более высокую точность.

Наиболее употребительной является следующая схема:

y_n+1 =  y_n +  (k₁+2k₂+2k₃+k₄), где

Пример 13.

Решить задачу Коши методом Рунге - Кутта для дифференциального уравнения у' = х² + у², у(0)=1 на отрезке [0;0,7].

Выберем шаг  h = 0,1. Используя формулу, получаем следущие значения функции у на сетке значений х:

Метод Эйлера-Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение y¢ = f(x,y), частное решение которого

удовлетворяет начальным условием .

Найдем значение y₁ интересующего нас решения в точке x₁, весьма близкой к x₀.

Поскольку значение y₁, отвечающее значе­нию x₀, нам известно, то задача сводится к нахождению приращения  y₁ – y₀ =Dу , вызванного приращением Dx = x_l – х₀ .

При малом приращении  Dx  с большой точностью Dу представимодифференциаломdy = y¢Dx ,

тогда можно записать Dу @ y¢Dx=f¢(x₀,y₀)Dx изаменяя  y₁ – y₀ = Dу и Dx = x_l – х₀ , находим:

                                                           y₁ @ y₀ + f¢(x₀,y₀)(x - x₀)

Это основная расчетная формула метода Эйлера — Коши.

Ее точность тем выше, чем меньше разность x_l – х_0.

Пример 13. 

Пусть у=у(х) - то решение дифференциального уравнения , которое удовлетворяет условию .

1) Найдем y|_x=2=?.

Так как промежуток от x =1 до х = 2 не может считаться малым, то мы разделим его на 10 равных частей точками x₁ =1,1, x₂ = l,2, ...  т.е. Dx = 0,1

Тогда в соответствии с формулой метода Эйлера-Коши, запишем: , y₁-y =0,2

 y₂ =1,2+2××0,1= 1,418, y₂-y₁ = 0,218; и т.д.

Аналогично находятся остальные значения функции у (х), причем вычисления удобно расположить в следующую таблицу, строение которой не потребует других пояснений, кроме указания, что за Dy принято у' Dx:

x	y	y¢	Dy		x	y	y¢	Dy
1	1	2	0,2		1,6	2,472	3,09	0,309
1,1	1,2	2,18	0,218		1,7	2,781	3,27	0,327
1,2	1,418	2,36	0,236		1,8	3,108	3,45	0,345
1,3	1,654	2,54	0,254		1,9	3,453	3,63	0,363
1,4	1,908	2,73	0,273		2	3,816
1,5	2,181	2,91	0,291

Эта таблица показывает, что  y(2) = 3,816.

2) Исходное уравнение легко решается отделением переменных:  , откуда y =Cx². Чтобы удовлетворить условию y(x=1)=1, надо взять С=1.

Частное решение есть у= х².

Точное значение величин y(2) = 4.

Абсолютная ошибка равна 0,184 ( табличное значение  у(2) = 3,816 и 4,0 – 3,816=0,184).

Относительная ошибка d = 0,184/4 = 0,046 = 4,6%.

Понятие об уравнениях в частных производных

1. Примеры простейших дифференциальных уравнений в частных производных

Пример 14.  Найти функцию z = z(x,y),  удовлетворяющую дифференциальному уравнению

Интегрируя, получим z = x + j(y), где j(y) – произвольная функция – общее решение.

Пример 15.  Решить уравнение , z = z(x,y)

Дважды интегрируя по y, получаем , , где j(х) и w(х) – произвольные функции.

Пример 16.  Решить уравнение

Интегрируя по x, получаем   

Проинтегрировав полученный результат по y, получим z=j(x)+ w(y), где w(y)=ò f(y)dy

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, линейные относительно частных производных

Рассмотрим дифференциальное уравнение , где X, Y и  Z – функции x, y и z.

Аргоритм решения

1. Предварительно решим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

                                                                      

Пусть решение этой системы определяется равенствами:

w₁(x, y, z) = C₁  и  w₂(x, y, z) = C₂

                    2. Найдем общий интеграл заданного дифференциального уравнения:

F[w₁(x, y, z), w₂(x, y, z)] = 0

где F(w₁, w₂) – произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Пример 17.  Найти общий интеграл уравнения

1. Решим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:  

 Þ ,  Þ

            2. Найдем общий интеграл заданного дифференциального уравнения:

F(y/x, z/x) = 0,  или  z/x =j(y/x),  z = x×j(y/x).

где j(y/x),  – произвольная функция.

Пример 18.  Найти общий интеграл уравнения

1.  Решим систему обыкновенных дифференциальных уравнений ,

применив свойство пропорции, запишем  или ,

            2. Интегрируя, получаем: , .

Второе уравнение системы: dz =0  Þ  z =C₂.

            Общий интеграл имеет вид: .

3. Уравнения второго порядка в частных производных

Рассмотрим уравнение второго порядка

           

где а, b, с—функции х и у.

Говорят, что указанное уравнение в области D принадлежит:

¨ гиперболиче­скому типу, если в этой области b²—ас > 0;

 ¨ параболическому типу, если в этой области b²—ас = 0;

¨ эллиптическому типу, если в этой области b²—ас <0;

Приведение к каноническому виду

Уравнения:

  - каноническое уравнение гиперболического типа;

- каноническое уравнение параболического типа; - каноническое уравнение эллиптического типа.

Дифференциальное уравнение а (dy)² – 2b dxdy + с (dx)²=0 называется уравнением характеристик уравнения второго порядка в частных производных.

· Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два интеграла

j(х, y) = C₁, y(x, y) = C₂, т. е. существуют два семейства действи­тельных характеристик.

С помощью замены переменных x= j(х, у), h=y (х, у) дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных приводится к каноническому виду.

· Для уравнения параболического типа уравнение характеристик имеет один интеграл j(х, у) = С_1,2 , т.е. оба семейства характеристик совпа­дают.

С помощью замены переменных x=j(х, у), h=y (x, у), [где y(х,у) - какая-нибудь функция,

для  которой ], дифференциальное уравнение второго порядка в частных

производных приводится к каноническому виду.

· Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик имеют вид

j(х, у) ± iy(х, y)=C_1,2 ,[ где j (х, у) и y(х, y)- действительные функции].

С помощью подстановки x= j(x, у), h = y(x, у) дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных приводится к каноническому виду.

Пример  19. Привести к каноническому виду уравнение

            1. а = х², b = 0,  с = - у², b² - ас = х²у² > 0, т.е. это уравнение гиперболического типа.

2. Составляем уравнение характеристик: x² (dy)² – у² (dх)² = 0, или (xdy+y dx)×(xdy-y dx) = 0. Получаем два дифференциальных уравнения: xdy+y dx=0 и xdy-y dx=0

3. Разделяя переменные и интегрируя, имеем ,  Þ xy=C₁ и ,  Þ , тогда xy=C₁ и  - уравнения двух семейств характеристик.

4. Введем новые переменные x = xy, h = y/x. Выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным: